Histogramme, polygone des fréquences cumulées et médiane

Énoncé

On a demandé à 120 lycéens combien de temps ils avaient dormi la nuit précédente, un soir de semaine. Les réponses, en heures, sont regroupées en classes de même amplitude (données fictives) : | Durée (h) | [5 ;6[ | [6 ;7[ | [7 ;8[ | [8 ;9[ | [9 ;10[ | |---|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | Effectif | 6 | 30 | 48 | 24 | 12 | *Sans calculatrice.* a) Calculer la fréquence de chaque classe, puis les fréquences cumulées croissantes. b) Quelle proportion des lycéens a dormi moins de 8 heures ? Moins de 7 heures ? c) Tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes. d) Déterminer la classe médiane, puis estimer la médiane en supposant les durées réparties uniformément dans cette classe. e) Estimer la durée moyenne de sommeil, en remplaçant chaque classe par son centre.

Indice : Fréquence d'une classe = effectif ÷ 120. Le polygone joint les points (borne supérieure ; fréquence cumulée), en partant de (5 ; 0). La médiane est l'abscisse du point d'ordonnée 0,5.

Correction

1. Étape 1 : Les valeurs exactes sont perdues : on ne connaît que le nombre de lycéens dans chaque classe. Tout passe par les fréquences cumulées, qui disent quelle proportion des valeurs est strictement inférieure à chaque borne. Série regroupée en classes de même amplitude : 1. Fréquence cumulée d'une classe : somme des fréquences de cette classe et des précédentes ; c'est la proportion des valeurs strictement inférieures à sa borne supérieure. 2. Classe médiane : la première classe dont la fréquence cumulée atteint 0,5. 3. Répartition uniforme dans une classe : on estime par proportionnalité à l'intérieur de la classe (médiane), et l'on remplace chaque classe par son centre (moyenne).
2. Étape 2 : a) On divise chaque effectif par 120, puis on cumule : | Durée (h) | [5 ;6[ | [6 ;7[ | [7 ;8[ | [8 ;9[ | [9 ;10[ | |---|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | Fréquence | 0,05 | 0,25 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | | Fréquence cumulée | 0,05 | 0,3 | 0,7 | 0,9 | 1 | Contrôle : la dernière fréquence cumulée vaut 1, puisque toutes les valeurs sont inférieures à 10 h.

   6/120 = 0,05 30/120 = 0,25 48/120 = 0,4 24/120 = 0,2 12/120 = 0,1

3. Étape 3 : b) « Moins de 8 h », c'est être dans l'une des trois premières classes : la fréquence cumulée de [7 ;8[ répond directement, 0,7, soit 70 % des lycéens. « Moins de 7 h » : fréquence cumulée de [6 ;7[, soit 0,3, c'est-à-dire 30 %. c) Le polygone relie les points (5 ;0), (6 ;0,05), (7 ;0,3), (8 ;0,7), (9 ;0,9) et (10 ;1) — sur la figure, les fréquences cumulées sont en pourcentage. Chaque fréquence cumulée est placée à la borne supérieure de sa classe, puisqu'elle compte les valeurs strictement inférieures à cette borne.
4. Étape 4 : d) La fréquence cumulée passe de 0,3 à 0,7 dans la classe [7 ;8[ : elle franchit 0,5 dans cette classe, qui est donc la classe médiane. Il manque 0,5 - 0,3 = 0,2 pour atteindre la moitié, et la classe apporte 0,4 sur une heure. Si les durées y sont réparties uniformément, on parcourt donc (0,2)/(0,4) = 1/2 de la classe : Me ≈ 7 + 1 × (0,2)/(0,4) = 7,5 h, soit 7 h 30 min. C'est l'abscisse du point du polygone d'ordonnée 0,5.

   Me ≈ 7 + (0,5 - 0,3)/(0,4) = 7,5

5. Étape 5 : e) Les centres des classes sont 5,5 ; 6,5 ; 7,5 ; 8,5 ; 9,5. La moyenne pondérée par les effectifs vaut x̄ ≈ (6 × 5,5 + 30 × 6,5 + 48 × 7,5 + 24 × 8,5 + 12 × 9,5)/120 = (33 + 195 + 360 + 204 + 114)/120 = 906/120 = 7,55 h, soit environ 7 h 33 min. Ce n'est qu'une estimation : elle suppose que chaque classe a pour moyenne son centre.

   x̄ ≈ 906/120 = 7,55

6. Étape 6 : L'erreur classique : Placer les fréquences cumulées au centre des classes au lieu de leur borne supérieure. Le point (7,5 ;0,7) dirait que 70 % des lycéens dorment moins de 7 h 30, alors que 0,7 compte tous ceux qui dorment moins de 8 h. On trouverait alors une médiane estimée à 7 h au lieu de 7 h 30. À retenir : Fréquence cumulée → borne supérieure. Classe médiane : première fréquence cumulée qui atteint 0,5 ; médiane estimée par proportionnalité dans cette classe. Moyenne estimée avec les centres.