Ajouter ou retirer une valeur : moyenne et médiane

Énoncé

Les salaires nets mensuels, en euros, des neuf employés d'une petite entreprise sont (données fictives) : 1 400 ; 1 500 ; 1 500 ; 1 600 ; 1 700 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 200 *Sans calculatrice.* a) Calculer la moyenne et la médiane de ces salaires. b) L'entreprise embauche une directrice payée 6 300 € par mois. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane des dix salaires. c) On revient aux neuf employés du départ. L'employé payé 1 400 € quitte l'entreprise. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane. d) Quel salaire faudrait-il ajouter aux neuf salaires du départ pour que la moyenne ne change pas ? e) Pour décrire le salaire « typique » des dix salariés de la question b), vaut-il mieux donner la moyenne ou la médiane ?

Indice : La somme des valeurs vaut effectif × moyenne. La médiane ne dépend que des valeurs du milieu de la série ordonnée.

Correction

1. Étape 1 : On ne refait pas tout à chaque question : on suit ce que l'ajout ou le retrait d'une valeur fait à la somme (pour la moyenne) et au rang central (pour la médiane). Ajouter une valeur à une série : Si une série de N valeurs a pour moyenne x̄, la somme de ses valeurs vaut N × x̄. Après l'ajout d'une valeur v, la moyenne devient (N × x̄ + v)/(N + 1). La médiane ne dépend que des valeurs du milieu de la série ordonnée.
2. Étape 2 : a) La somme vaut 1 400 + 1 500 + 1 500 + 1 600 + 1 700 + 1 700 + 1 800 + 1 900 + 2 200 = 15 300, donc la moyenne vaut (15 300)/9 = 1 700 €. La série est déjà rangée et compte 9 valeurs (impair) : la médiane est la valeur de rang (9 + 1)/2 = 5, soit 1 700 €.

   x̄ = (15 300)/9 = 1 700 Me = 1 700

3. Étape 3 : b) Avec la directrice, la somme devient 15 300 + 6 300 = 21 600 pour 10 salaires : x̄ = (21 600)/10 = 2 160 €. La série ordonnée a maintenant 10 valeurs (pair) ; 6 300 se place en dernier, donc les valeurs de rang 5 et 6 restent 1 700 et 1 700 : Me = (1 700 + 1 700)/2 = 1 700 €. La moyenne a augmenté de 460 €, la médiane n'a pas bougé.

   x̄ = 2 160 Me = 1 700

4. Étape 4 : c) Sans le salaire de 1 400 €, la somme devient 15 300 - 1 400 = 13 900 pour 8 salaires : x̄ = (13 900)/8 = 1 737,5 €. Il reste 1 500 ; 1 500 ; 1 600 ; 1 700 ; 1 700 ; 1 800 ; 1 900 ; 2 200 : la médiane est la demi-somme des valeurs de rang 4 et 5, soit (1 700 + 1 700)/2 = 1 700 €. Retirer une valeur inférieure à la moyenne fait monter la moyenne.

   x̄ = 1 737,5 Me = 1 700

5. Étape 5 : d) On cherche v tel que (15 300 + v)/10 = 1 700, c'est-à-dire 15 300 + v = 17 000, donc v = 1 700 € : il faut ajouter une valeur égale à la moyenne. e) La médiane : elle vaut 1 700 €, et la moitié des salariés gagnent au plus cette somme. La moyenne de 2 160 € est supérieure à huit des dix salaires (seuls 2 200 € et 6 300 € la dépassent), parce qu'une seule valeur très élevée l'a tirée vers le haut.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Croire que la médiane bouge autant que la moyenne, ou recalculer la nouvelle moyenne en faisant la moyenne de l'ancienne et de la nouvelle valeur : (1 700 + 6 300)/2 = 4 000 €. Ce calcul donnerait à la directrice le même poids qu'aux neuf autres salariés réunis. À retenir : Une valeur ajoutée au-dessus de la moyenne la fait monter, au-dessous la fait baisser, égale à la moyenne ne la change pas. Une valeur extrême déplace beaucoup la moyenne et peu la médiane.