Linéarité de la moyenne : des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit

Énoncé

Un élève relève la température à 8 h pendant une semaine, en degrés Celsius (données fictives) : 12 ; 14 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 10 *Sans calculatrice.* a) Calculer la température moyenne de la semaine en °C. b) Pour convertir une température C en degrés Fahrenheit, on calcule F = 1,8 C + 32. Sans convertir les sept valeurs, donner la température moyenne de la semaine en °F. c) L'élève découvre que son thermomètre affichait 0,5 °C de trop. Quelle est la vraie température moyenne en °C ? d) L'étendue de la série suit-elle la même règle que la moyenne quand on passe en °F ?

Indice : Si chaque valeur x devient a·x + b, la moyenne devient a·(moyenne) + b.

Correction

1. Étape 1 : Les questions b) et c) appliquent la même transformation à toutes les valeurs : on ne refait pas le calcul, on transforme la moyenne. Linéarité de la moyenne : Si chaque valeur xᵢ devient a xᵢ + b, alors la moyenne devient a x̄ + b. C'est vrai parce que la somme des a xᵢ + b vaut a × (somme des xᵢ) + N × b : en divisant par N, on obtient a x̄ + b.
2. Étape 2 : a) La somme des sept températures vaut 12 + 14 + 9 + 11 + 13 + 15 + 10 = 84, donc C̄ = 84/7 = 12 °C. b) La conversion est de la forme a C + b avec a = 1,8 et b = 32. D'après la linéarité de la moyenne : F̄ = 1,8 × 12 + 32 = 21,6 + 32 = 53,6 °F.

   F̄ = 1,8 × 12 + 32 = 53,6

3. Étape 3 : Contrôle (facultatif) : en convertissant les sept valeurs, on trouve 53,6 ; 57,2 ; 48,2 ; 51,8 ; 55,4 ; 59 ; 50, de somme 375,2, et (375,2)/7 = 53,6 ✓. La linéarité donne le même résultat en un seul calcul. c) Chaque valeur affichée était trop grande de 0,5 : la vraie valeur est C - 0,5 (ici a = 1 et b = -0,5). La vraie moyenne est donc 12 - 0,5 = 11,5 °C.

   C - 0,5̅ = 12 - 0,5 = 11,5

4. Étape 4 : d) L'étendue vaut 15 - 9 = 6 °C. En °F, la plus grande valeur devient 1,8 × 15 + 32 et la plus petite 1,8 × 9 + 32 : dans la différence, le 32 disparaît. Étendue en °F = 1,8 × 15 - 1,8 × 9 = 1,8 × 6 = 10,8 °F. L'étendue est donc multipliée par 1,8, mais pas augmentée de 32 : un décalage de toutes les valeurs ne change pas leur dispersion.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le +32 et répondre 1,8 × 12 = 21,6 °F, ou au contraire l'appliquer aussi à l'étendue (1,8 × 6 + 32 = 42,8 °F). La moyenne est une position : elle subit tout le changement d'échelle. L'étendue est un écart : le décalage +32 s'y annule. À retenir : a x + b̅ = a x̄ + b. Ajouter un même nombre à toutes les valeurs ne change pas leur dispersion.