Évolutions successives et évolution réciproque

Énoncé

D'après La Poste, le tarif d'une lettre verte de moins de 20 g était de 1,16 € en 2023, de 1,29 € en 2024 et de 1,39 € en 2025 (tarifs au 1er janvier). *Calculatrice autorisée pour les questions a) à d).* a) Calculer le taux d'évolution du tarif entre 2023 et 2024, en pourcentage arrondi au dixième. b) Même question entre 2024 et 2025. c) Calculer le taux d'évolution global entre 2023 et 2025 à l'aide des coefficients multiplicateurs. Est-il égal à la somme des deux taux ? d) De quel pourcentage le tarif de 2025 devrait-il baisser pour revenir à celui de 2023 ? e) *Sans calculatrice.* Un prix augmente de 60 %. De quel pourcentage doit-il baisser pour revenir à sa valeur initiale ?

Indice : Des évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients. L'évolution réciproque a pour coefficient l'inverse 1/k.

Correction

1. Étape 1 : Tout se fait avec les coefficients multiplicateurs, parce qu'ils se composent simplement — contrairement aux taux. Évolutions successives et réciproque : Deux évolutions successives de coefficients k₁ puis k₂ ont pour coefficient global k₁ × k₂. L'évolution qui ramène à la valeur initiale (évolution réciproque) a pour coefficient 1/k. On convertit donc chaque taux en coefficient, on calcule avec les coefficients, et l'on ne revient aux pourcentages qu'à la fin.
2. Étape 2 : a) Entre 2023 et 2024 : k₁ = (1,29)/(1,16) ≈ 1,1121, donc un taux d'environ +11,2 %. b) Entre 2024 et 2025 : k₂ = (1,39)/(1,29) ≈ 1,0775, donc un taux d'environ +7,8 %.

   k₁ ≈ 1,112 k₂ ≈ 1,078

3. Étape 3 : c) Les deux hausses se succèdent, donc les coefficients se multiplient : k = k₁ × k₂ = (1,29)/(1,16) × (1,39)/(1,29) = (1,39)/(1,16) ≈ 1,198. Le tarif a augmenté d'environ 19,8 % en deux ans. La somme des taux donnerait 11,2 + 7,8 = 19,0 % : ce n'est pas le taux global, car la seconde hausse porte sur un tarif déjà augmenté.

   k = (1,39)/(1,16) ≈ 1,198 (+19,8 %)

4. Étape 4 : d) Revenir de 1,39 € à 1,16 €, c'est appliquer l'évolution réciproque, de coefficient 1/k = (1,16)/(1,39) ≈ 0,835, soit une baisse d'environ 16,5 % — et non de 19,8 %. e) Une hausse de 60 % a pour coefficient 1,6. Le coefficient réciproque est 1/(1,6) = 10/16 = 5/8 = 0,625 : il faut une baisse de 1 - 0,625 = 0,375, soit 37,5 %. Contrôle : 1,6 × 0,625 = 1 ✓.

   1/(1,6) = 0,625 (-37,5 %)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Additionner les taux successifs (19,0 % au lieu de 19,8 %), ou prendre l'opposé du taux pour revenir en arrière (-60 % au lieu de -37,5 %). Une baisse de 60 % après une hausse de 60 % donnerait 1,6 × 0,4 = 0,64 : on se retrouverait bien en dessous du prix de départ. À retenir : Évolutions successives : on multiplie les coefficients. Évolution réciproque : on prend l'inverse du coefficient.