Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Énoncé

Partie A — Sans calculatrice. Au 1er novembre 2024, le SMIC horaire brut, qui valait 11,65 €, a été revalorisé de 2 % (source : ministère du Travail). a) Par quel nombre a-t-on multiplié 11,65 ? b) Calculer le nouveau SMIC horaire brut, arrondi au centime. Partie B — Calculatrice autorisée. D'après l'Insee (bilan démographique 2024), il est né environ 678 000 enfants en France en 2023, et environ 663 000 en 2024. c) Calculer la variation absolue du nombre de naissances entre 2023 et 2024. d) Calculer le coefficient multiplicateur, arrondi au millième, puis le taux d'évolution en pourcentage, arrondi au dixième. e) Si le nombre de naissances baissait encore de 2,2 % entre 2024 et 2025, combien y aurait-il de naissances en 2025, arrondi au millier ?

Indice : Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t %, par 1 − t/100. Le taux d'évolution vaut (V₂ − V₁)/V₁.

Correction

1. Étape 1 : Trois façons de décrire une même évolution, et il faut savoir passer de l'une à l'autre. Évolution d'une grandeur : Une grandeur passe de V₁ à V₂. Variation absolue : V₂ - V₁. Coefficient multiplicateur : k = (V₂)/(V₁). Taux d'évolution, écrit en décimal : t = (V₂ - V₁)/(V₁) = k - 1. En pourcentage, une hausse de t % correspond au coefficient 1 + t/100, une baisse de t % au coefficient 1 - t/100. La partie A part d'un taux pour trouver une valeur ; la partie B fait le chemin inverse, des valeurs vers le taux.
2. Étape 2 : a) Augmenter de 2 %, c'est multiplier par 1 + 2/100 = 1,02. b) 11,65 × 1,02 = 11,65 + 11,65 × 0,02 = 11,65 + 0,233 = 11,883. Arrondi au centime, le nouveau SMIC horaire brut vaut 11,88 € — c'est bien la valeur officielle depuis le 1er novembre 2024.

   11,65 × 1,02 = 11,883 ≈ 11,88 €

3. Étape 3 : c) La variation absolue est une différence, dans l'unité de la grandeur (un nombre de naissances) : 663 000 - 678 000 = -15 000 naissances. Le signe moins traduit une baisse. d) Le coefficient multiplicateur est un quotient, sans unité : k = (663 000)/(678 000) ≈ 0,978. Le taux d'évolution vaut t = (-15 000)/(678 000) ≈ -0,0221, soit une baisse d'environ 2,2 %. On retrouve t = k - 1, puisque 0,978 - 1 = -0,022.

   k ≈ 0,978 t ≈ -2,2 %

4. Étape 4 : e) Une baisse de 2,2 % correspond au coefficient 1 - 0,022 = 0,978. On l'applique à la valeur de 2024 : 663 000 × 0,978 = 648 414, soit environ 648 000 naissances. Ce n'est qu'une hypothèse (« si la baisse se poursuivait au même rythme ») : l'énoncé ne dit rien du nombre réel de naissances en 2025.

   663 000 × 0,978 ≈ 648 000

5. Étape 5 : L'erreur classique : Diviser par la mauvaise valeur dans le taux : (-15 000)/(663 000) ≈ -2,3 %. Le taux d'évolution se rapporte toujours à la valeur de départ, V₁ = 678 000. Autre confusion : écrire « -15 000 % ». La variation absolue a l'unité de la grandeur ; seul le taux s'écrit en pourcentage. À retenir : +t % ⟺ × (1 + t/100) et -t % ⟺ × (1 - t/100). Le taux se calcule par rapport à la valeur initiale.