Proportions et pourcentage de pourcentage

Énoncé

Un lycée compte 1 200 élèves (données fictives). 35 % d'entre eux sont en Seconde, et 40 % des élèves de Seconde sont demi-pensionnaires. *Sans calculatrice.* a) Combien le lycée compte-t-il d'élèves de Seconde ? b) Combien d'élèves de Seconde sont demi-pensionnaires ? c) Quelle proportion des élèves du lycée les élèves de Seconde demi-pensionnaires représentent-ils ? Retrouver ce résultat sans passer par les effectifs. d) Les 234 élèves de Première qui sont externes représentent 60 % des élèves de Première. Combien y a-t-il d'élèves de Première ?

Indice : Une partie s'obtient en multipliant le tout par la proportion ; le tout s'obtient en divisant la partie par la proportion. Pour deux proportions emboîtées, on multiplie.

Correction

1. Étape 1 : Toutes les questions reposent sur la même relation, lue dans un sens ou dans l'autre : partie = proportion × tout. Proportion et pourcentage de pourcentage : Si A représente la proportion p d'une population E d'effectif N, l'effectif de A est p × N. Si A ⊂ B ⊂ E, que B représente la proportion p₁ de E et A la proportion p₂ de B, alors A représente la proportion p₁ × p₂ de E. La vraie difficulté est de repérer, à chaque question, de quelle population on prend le pourcentage : les 40 % portent sur les élèves de Seconde, pas sur tout le lycée.
2. Étape 2 : a) On prend 35 % des 1 200 élèves du lycée : 0,35 × 1 200 = 420 élèves de Seconde. b) Les 40 % portent sur les élèves de Seconde, donc sur 420 élèves : 0,4 × 420 = 168 élèves de Seconde demi-pensionnaires.

   0,35 × 1 200 = 420 0,4 × 420 = 168

3. Étape 3 : c) Rapportés aux 1 200 élèves du lycée, ces 168 élèves représentent 168/(1 200) = 0,14, soit 14 %. Sans les effectifs : les deux populations sont emboîtées (Seconde demi-pensionnaires ⊂ Seconde ⊂ lycée), donc les proportions se multiplient : 0,35 × 0,4 = 0,14. Les deux méthodes concordent.

   0,35 × 0,4 = 0,14 = 14 %

4. Étape 4 : d) Cette fois, on connaît la partie (234 élèves) et sa proportion (60 %) : on cherche le tout. Puisque partie = 0,6 × tout, on divise : N = 234/(0,6) = (2 340)/6 = 390 élèves de Première. Contrôle : 0,6 × 390 = 234 ✓, et 390 est bien plus grand que 234, comme un tout doit l'être.

   N = 234/(0,6) = 390

5. Étape 5 : L'erreur classique : Additionner les deux pourcentages de la question c) : 35 % + 40 % = 75 %. Ce nombre ne veut rien dire, puisque les 40 % ne portent pas sur la même population que les 35 %. Le contrôle est immédiat : une partie d'une partie est plus petite que chacune des deux proportions, or 75 % > 40 %. Autre piège, à la question d) : multiplier au lieu de diviser, et trouver 0,6 × 234 ≈ 140 élèves de Première — moins que les seuls externes. À retenir : Partie = proportion × tout, et tout = partie ÷ proportion. Pour des populations emboîtées, les proportions se multiplient.