Calcul de moyenne pondérée et écart-type
Énoncé
Un contrôle de mathématiques a donné les résultats suivants :
| Note | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
|------|:-:|:-:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| Effectif | 2 | 3 | 5 | 8 | 6 | 4 | 2 |
a) Calculer la moyenne x de cette série.
b) Calculer la variance V et l'écart-type .
c) Quel pourcentage de notes se trouve dans l'intervalle [x - \;;\; x + ] ?
Indice : x = n_i x_i{N} et V = n_i (x_i - {x)^2}{N}.
Correction
- Étape 1 : Trois calculs enchaînés, où chaque résultat sert au suivant — et une dernière question qui donne enfin du sens à l'écart type.
L'enchaînement, dans cet ordre :
1. x, la moyenne pondérée par les effectifs ;
2. V, moyenne des carrés des écarts à x, pondérée elle aussi ;
3. = V ;
4. l'interprétation : combien de valeurs tombent dans [x - \,;\, x + ].
⚠️ L'étape 2 est celle qu'on rate : les effectifs interviennent aussi dans la variance. Traiter les 7 notes comme si chacune comptait une fois donnerait un résultat entièrement faux.
- Étape 2 : a) L'effectif total : N = 2+3+5+8+6+4+2 = 30.
La somme pondérée :
2 6 + 3 8 + 5 10 + 8 12 + 6 14 + 4 16 + 2 18
= 12 + 24 + 50 + 96 + 84 + 64 + 36 = 366
[formule]
Contrôle : 12{,}2 est bien entre 6 et 18, et proche de 12 qui est la note la plus fréquente ✓
x = 12{,}2
- Étape 3 : b) Chaque écart au carré est multiplié par son effectif :
V = 1{30}[2(6-12{,}2)^2 + 3(8-12{,}2)^2 + 5(10-12{,}2)^2 + 8(12-12{,}2)^2 + 6(14-12{,}2)^2 + 4(16-12{,}2)^2 + 2(18-12{,}2)^2]
En calculant chaque terme :
V = 2(38{,44) + 3(17{,}64) + 5(4{,}84) + 8(0{,}04) + 6(3{,}24) + 4(14{,}44) + 2(33{,}64)}{30}
V = 76{,88 + 52{,}92 + 24{,}20 + 0{,}32 + 19{,}44 + 57{,}76 + 67{,}28}{30} = 298{,80}{30} = 9{,}96
[formule]
V = 9{,}96 ; 3{,}16
- Étape 4 : c) L'intervalle demandé :
[x - \,;\, x + ] [12{,}2 - 3{,}16 \,;\, 12{,}2 + 3{,}16] = [9{,}04 \,;\, 15{,}36]
Quelles notes du tableau s'y trouvent ? Les notes 10, 12 et 14 — pas 8 (trop bas) ni 16 (trop haut).
Leurs effectifs : 5 + 8 + 6 = 19 élèves.
[formule]
63\% des notes dans [x - \,;\, x + ]
- Étape 5 : 👉 Ce résultat n'est pas anodin, et c'est tout l'intérêt de la question c).
Sur la plupart des séries réparties « en cloche » autour de leur moyenne, environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d'un écart type de celle-ci. Les 63 % trouvés ici en sont très proches.
C'est ce qui donne à son sens concret : ce n'est pas un nombre abstrait, c'est la distance dans laquelle se trouve environ deux tiers de l'effectif.
Dit autrement : « moyenne 12,2, écart type 3,16 » signifie que les deux tiers des élèves ont entre 9 et 15,4.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Oublier les effectifs dans le calcul de la variance, et faire la moyenne des 7 carrés d'écarts comme s'il y avait 7 élèves.
On diviserait par 7 au lieu de 30, et l'on traiterait la note 12 (8 élèves) comme la note 18 (2 élèves). Le résultat n'aurait aucun rapport avec la série.
À retenir :
L'ordre : x, puis V pondérée, puis .
👉 Et l'interprétation qui rend utile : environ deux tiers des valeurs se trouvent dans [x - \,;\, x + ]. C'est cette lecture qui transforme un calcul en information.