Prise de décision à partir d'un échantillon

Énoncé

Un laboratoire pharmaceutique affirme que son médicament est efficace dans 70% des cas (p_0 = 0{,}7). Un hôpital teste le médicament sur n = 400 patients et constate qu'il est efficace pour 260 d'entre eux. a) Calculer la fréquence observée f. b) Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. c) L'affirmation du laboratoire est-elle remise en cause ?

Indice : f = 260{400}. L'intervalle de fluctuation est centré en p_0 = 0{,}7.

Correction

1. Étape 1 : Même outil que pour la machine à pièces, appliqué cette fois à un cas limite : la fréquence observée va tomber exactement sur une borne de l'intervalle. Rappel : intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : [formule] 👉 Et il faut savoir d'avance quoi faire d'une valeur qui tombe pile sur la borne : les crochets sont FERMÉS, donc la borne appartient à l'intervalle. On ne rejette pas. ⚠️ Mais un résultat frontière mérite d'être signalé comme tel : la décision aurait basculé pour un patient de moins.
2. Étape 2 : a) La fréquence observée sur l'échantillon : f = 260{400} = 0{,}65 b) Vérifions d'abord les conditions : n = 400 25 ✓ et 0{,}2 0{,}7 0{,}8 ✓ 1{400} = 1{20} = 0{,}05 [formule]

   f = 0{,}65 ; I_f = [0{,}65 \,;\, 0{,}75]

3. Étape 3 : c) La fréquence observée f = 0{,}65 est exactement la borne inférieure de l'intervalle. Les crochets étant fermés, 0{,}65 I_f : on ne rejette pas l'affirmation du laboratoire au seuil de 95 %. 👉 Mais il faut le dire honnêtement : le résultat est à la frontière exacte. Avec 259 patients guéris au lieu de 260, on aurait eu f = 0{,}6475 I_f, et la conclusion se serait inversée. Un test statistique produit une décision binaire à partir d'une réalité continue : il existe donc toujours un voisinage de la borne où la conclusion tient à très peu de chose. C'est ce voisinage qu'il faut signaler.

   f = 0{,}65 I_f on ne rejette pas (résultat frontière)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Conclure « donc le médicament est efficace dans 70 % des cas », ou à l'inverse « donc il ne l'est pas ». Ne pas rejeter n'est pas confirmer. Le test dit seulement que l'observation reste compatible avec l'annonce — il ne la démontre pas. Et il ne dit rien non plus sur la vraie valeur de p, qui pourrait être 0,66 comme 0,72. À retenir : Les crochets de I_f sont fermés : une fréquence égale à la borne appartient à l'intervalle. 👉 Et signaler une position frontière fait partie de la réponse : c'est ce qui distingue une conclusion mécanique d'une lecture honnête du résultat.