Simulation et fréquence (lancer de dé)

Énoncé

On lance un dé équilibré 60 fois et on obtient les résultats suivants : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |------|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | Effectif | 8 | 12 | 9 | 11 | 10 | 10 | a) Calculer la fréquence de chaque face. b) La fréquence théorique de chaque face est 1{6} 0{,}167. Les résultats semblent-ils cohérents ? c) Quelle face a la fréquence la plus éloignée de la valeur théorique ?

Indice : La fréquence est f_i = n_i{60}. Compare chaque fréquence à 1{6}.

Correction

1. Étape 1 : Une simulation ne redonne jamais exactement les probabilités théoriques : elle fluctue autour. Toute la question est de savoir si l'écart observé est normal ou suspect. Ce qu'il faut avoir en tête : Sur 60 lancers d'un dé équilibré, obtenir exactement 10 fois chaque face serait au contraire extraordinairement improbable. La fluctuation est la règle, pas l'exception. 👉 Et le repère qui permet de quantifier est celui de l'exercice précédent : plus l'échantillon est petit, plus la fluctuation est grande. Avec 60 lancers seulement, il faut s'attendre à des écarts visibles.
2. Étape 2 : a) Chaque fréquence s'obtient en divisant l'effectif par 60 : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Effectif | 8 | 12 | 9 | 11 | 10 | 10 | | f_i | 0{,}133 | 0{,}200 | 0{,}150 | 0{,}183 | 0{,}167 | 0{,}167 | Contrôle : la somme des effectifs vaut 8+12+9+11+10+10 = 60 ✓, donc la somme des fréquences vaut 1.

   f_1 0{,}133 \;;\; f_2 = 0{,}200 \;;\; f_3 = 0{,}150 \;;\; f_4 0{,}183 \;;\; f_5 = f_6 0{,}167

3. Étape 3 : b) Toutes les fréquences se situent entre 0{,}133 et 0{,}200, autour de la valeur théorique 1{6} 0{,}167. Avec seulement 60 lancers, cette fluctuation est parfaitement normale. 👉 Pour donner un ordre de grandeur, la marge de fluctuation 1{60} 0{,}129 est énorme devant 1{6} elle-même : les écarts observés (au plus 0,033) en sont très loin. Rien ne permet de soupçonner ce dé. ⚠️ Ce calcul n'est qu'indicatif : les conditions d'emploi de l'intervalle de fluctuation exigent 0{,}2 p 0{,}8, or p = 1{6} 0{,}167. On s'en sert pour l'ordre de grandeur, pas comme d'un test valide.
4. Étape 4 : c) On calcule les écarts à la valeur théorique 1{6} 0{,}1667 : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | écart | 0{,}0333 | 0{,}0333 | 0{,}0167 | 0{,}0167 | 0 | 0 | 👉 Les faces 1 et 2 sont EXACTEMENT à égalité, et ce n'est pas un hasard : l'effectif théorique est 60{6} = 10, et les effectifs observés valent 8 = 10 - 2 et 12 = 10 + 2. Ils s'écartent donc de la même quantité, dans des sens opposés. De même, les faces 3 et 4 (9 = 10-1 et 11 = 10+1) sont à égalité, et les faces 5 et 6 tombent pile.

   faces 1 et 2, à égalité : écart 0{,}033

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure qu'un dé est pipé parce qu'il ne donne pas exactement 10 par face. C'est l'inverse qui devrait alerter : sur 60 lancers, tomber pile à 10 partout est bien plus improbable que la répartition observée. Une simulation trop parfaite est suspecte, pas une simulation qui fluctue. Second piège, plus discret : désigner une seule face comme « la plus éloignée » alors que deux le sont autant. Comparer des écarts en valeur absolue impose de vérifier les égalités. À retenir : La fluctuation est la règle. Elle diminue quand n augmente — c'est la loi des grands nombres. 👉 Et comparer des écarts en valeur absolue, sans supposer d'avance qu'il n'y a qu'un maximum.