Intervalle de fluctuation (proportion connue)

Énoncé

On sait qu'une machine produit 30% de pièces de type A (p = 0{,}3). On prélève un échantillon de n = 100 pièces. a) Calculer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. b) On observe 22 pièces de type A dans l'échantillon. Cette observation est-elle compatible avec la proportion annoncée ? c) Si on observe 18 pièces de type A, quelle conclusion tirer ?

Indice : L'intervalle de fluctuation est [p - 1{n} \;;\; p + 1{n}].

Correction

1. Étape 1 : L'intervalle de fluctuation répond à une question précise : quelles fréquences peut-on raisonnablement observer sur un échantillon, si la proportion annoncée est vraie ? Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : [formule] valable lorsque n 25 et 0{,}2 p 0{,}8. 👉 Sa largeur ne dépend que de n : plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit, donc plus le test est exigeant. Avec n = 100 la marge vaut 0,1 ; avec n = 10\,000 elle tomberait à 0,01. ⚠️ Et « au seuil de 95 % » veut dire que dans 5 % des cas, une machine parfaitement réglée produira quand même un échantillon hors de l'intervalle.
2. Étape 2 : a) Ici p = 0{,}3 et n = 100. Les conditions sont remplies : 100 25 ✓ et 0{,}2 0{,}3 0{,}8 ✓ 1{100} = 1{10} = 0{,}1 [formule] Autrement dit : si la machine produit bien 30 % de pièces A, on doit observer entre 20 % et 40 % de pièces A dans 95 % des échantillons de 100 pièces.

   I_f = [0{,}2 \,;\, 0{,}4]

3. Étape 3 : b) La fréquence observée est f = 22{100} = 0{,}22. Or 0{,}22 [0{,}2 \,;\, 0{,}4] : l'observation est compatible avec l'annonce. ⚠️ « Compatible » ne veut pas dire « prouve que p = 0{,}3 » : cela veut dire qu'on n'a aucune raison de douter. Un test statistique ne confirme jamais une hypothèse, il échoue seulement à la rejeter.

   f = 0{,}22 I_f compatible

4. Étape 4 : c) Cette fois f = 18{100} = 0{,}18, et 0{,}18 [0{,}2 \,;\, 0{,}4]. On rejette l'hypothèse p = 0{,}3 au seuil de 95 %. 👉 Ce que cela signifie exactement : *si* la proportion était réellement 0,3, observer une fréquence aussi éloignée aurait moins de 5 % de chances de se produire. On préfère donc douter de l'annonce plutôt que d'accepter un événement aussi rare. ⚠️ Mais il reste ces 5 % : on peut rejeter à tort une machine parfaitement réglée. C'est le risque assumé du seuil choisi.

   f = 0{,}18 I_f on rejette p = 0{,}3

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « la machine est déréglée, c'est certain ». Un test statistique ne prouve jamais rien : il dit qu'une observation est peu vraisemblable sous l'hypothèse testée. Il reste 5 % de chances de rejeter à tort — et la formulation attendue est bien « on rejette au seuil de 95 % », jamais « donc c'est faux ». À retenir : [formule] Vérifier les conditions avant d'appliquer, et rédiger la conclusion avec le seuil. 👉 Et retenir la logique : f I_f on ne rejette pas ; f I_f on rejette. Jamais « on prouve ».