Simulation et fréquences

Énoncé

On lance deux dés et on note la somme des deux faces. a) Combien d'issues possibles y a-t-il ? b) Quelles sont les sommes possibles ? c) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ? d) Quelle somme a la plus grande probabilité ?

Indice : Il y a 6 6 = 36 couples possibles. Pour obtenir 7, liste tous les couples (a,b) tels que a+b = 7.

Correction

1. Étape 1 : Avec deux dés, la difficulté n'est pas le calcul : c'est de compter les issues correctement, et de comprendre que les sommes ne sont pas équiprobables. Deux dés : bien choisir l'univers : L'univers est celui des couples (dé_1, dé_2) : il y en a 6 6 = 36, et ils sont tous équiprobables. Les sommes, elles, ne le sont pas : chacune correspond à un nombre différent de couples. 👉 C'est le point décisif de tout l'exercice. Il y a 11 sommes possibles, mais croire qu'elles ont chacune une probabilité de 1{11} est faux. ⚠️ Et les deux dés sont distinguables : (3,4) et (4,3) sont deux issues différentes, même si elles donnent la même somme.
2. Étape 2 : a) Chaque dé a 6 faces, et le résultat de l'un n'influence pas l'autre : [formule] b) La plus petite somme est 1 + 1 = 2, la plus grande 6 + 6 = 12. Toutes les valeurs intermédiaires sont atteignables : [formule]

   36 issues ; sommes de 2 à 12

3. Étape 3 : c) On liste tous les couples dont la somme vaut 7 : (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) Il y en a 6, donc [formule] ⚠️ (3,4) et (4,3) comptent séparément : le premier dé donne 3 et le second 4 dans un cas, l'inverse dans l'autre. Ce sont deux issues distinctes de l'univers.

   P(S = 7) = 1{6}

4. Étape 4 : d) La somme 7 est celle qui compte le plus de couples favorables (6 sur 36), donc c'est la plus probable. 👉 La raison est instructive : 7 est la seule somme atteignable quelle que soit la valeur du premier dé. Que le premier donne 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, il existe toujours une valeur du second qui complète à 7. Aux extrêmes, au contraire : la somme 2 n'a qu'un seul couple (1,1), et la somme 12 qu'un seul (6,6), soit 1{36} chacune — six fois moins probable que 7.

   la somme 7 est la plus probable

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que les 11 sommes sont équiprobables et répondre P(S=7) = 1{11}. Ou, plus discret : compter (3,4) une seule fois, en oubliant (4,3). On trouverait alors 3 couples au lieu de 6, donc 1{12} — deux fois trop peu. À retenir : L'univers est celui des couples (36, équiprobables), jamais celui des sommes. 👉 Et la méthode qui ne trompe pas : lister les couples favorables, en parcourant systématiquement les valeurs du premier dé. C'est plus long que de compter de tête, et c'est la seule façon de n'en oublier aucun.