Probabilités avec intersection
Énoncé
Dans une classe de 30 élèves :
- 18 pratiquent un sport
- 12 jouent d'un instrument de musique
- 6 font les deux
a) Combien d'élèves ne font ni sport ni musique ?
b) On choisit un élève au hasard. Calculer P(S M) et P(S M).
Indice : Utilise la formule P(S M) = P(S) + P(M) - P(S M). Les élèves « ni l'un ni l'autre » sont ceux qui ne sont pas dans S M.
Correction
- Étape 1 : C'est un problème de dénombrement avant d'être un problème de probabilité. La formule est la même que pour les cartes, appliquée cette fois à des effectifs.
Cardinal d'une réunion :
[formule]
👉 Et « ne faire ni l'un ni l'autre » est le complémentaire de la réunion : c'est ce qui reste une fois retirés tous ceux qui font au moins une activité.
⚠️ Le piège : additionner 18 et 12 et trouver 30, donc conclure que toute la classe fait quelque chose. Les 6 élèves qui font les deux seraient comptés deux fois.
- Étape 2 : a) Le nombre d'élèves faisant au moins une des deux activités :
|S M| = 18 + 12 - 6 = 24
Il reste donc
30 - 24 = 6 élèves qui ne font ni sport ni musique.
|S M| = 24 ; ni l\'un ni l\'autre : 6
- Étape 3 : 👉 La répartition complète, qui rend tout vérifiable d'un coup d'œil :
| | effectif |
|:---|:---:|
| sport seul | 18 - 6 = 12 |
| musique seule | 12 - 6 = 6 |
| les deux | 6 |
| aucun | 6 |
| total | 30 ✓ |
Cette décomposition en quatre zones disjointes est le meilleur contrôle : leur somme doit faire l'effectif total.
- Étape 4 : b) Chaque élève ayant la même chance d'être choisi, on divise par 30 :
P(S M) = 24{30} = 4{5}
P(S M) = 1 - 4{5} = 1{5}
Contrôle par le comptage direct : 6 élèves sur 30 ne font rien, soit 6{30} = 1{5} ✓ — les deux voies concordent.
P(S M) = 4{5} ; P(S M) = 1{5}
- Étape 5 : L'erreur classique :
Écrire |S M| = 18 + 12 = 30 et conclure que tous les élèves pratiquent une activité.
Les 6 élèves qui font les deux figurent dans les 18 sportifs et dans les 12 musiciens : les compter deux fois gonfle le total de 6, et fait disparaître les 6 élèves qui ne font rien.
À retenir :
[formule]
👉 Et le réflexe qui rend le problème visuel : décomposer en quatre zones disjointes (l'un seul, l'autre seul, les deux, aucun). Leur somme doit faire le total — c'est un contrôle imparable.