Variance et écart type

Énoncé

Deux classes ont obtenu les résultats suivants à un même contrôle : - Classe A : moyenne 12, notes : 10, 11, 12, 13, 14 - Classe B : moyenne 12, notes : 4, 8, 12, 16, 20 a) Vérifier que les deux classes ont bien la même moyenne. b) Calculer la variance et l'écart type de chaque classe. c) Quelle classe a les résultats les plus homogènes ?

Indice : V = 1{N} (x_i - x)^2 et = V.

Correction

1. Étape 1 : Deux classes de même moyenne, et l'exercice existe pour une raison précise : montrer que la moyenne ne suffit pas à décrire une série. Variance et écart type : [formule] 👉 Pourquoi élever au carré ? Parce que la somme des écarts sans carré vaut toujours zéro : les écarts positifs compensent exactement les négatifs, par définition de la moyenne. Le carré supprime les signes et rend la mesure exploitable. ⚠️ Et c'est aussi pourquoi on prend ensuite la racine : revient dans l'unité des données (ici des points), là où V est en « points au carré », qui ne se lit pas.
2. Étape 2 : a) On vérifie les deux moyennes : Classe A : 10+11+12+13+14{5} = 60{5} = 12 ✓ Classe B : 4+8+12+16+20{5} = 60{5} = 12 ✓ Les deux classes ont bien la même moyenne. Sur ce seul critère, elles sont indiscernables.

   x_A = x_B = 12

3. Étape 3 : b) Classe A. Les écarts à la moyenne sont -2, -1, 0, 1, 2 : V_A = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2{5} = 4+1+0+1+4{5} = 10{5} = 2 _A = 2 1{,}41 Classe B. Les écarts sont -8, -4, 0, 4, 8 : V_B = 64+16+0+16+64{5} = 160{5} = 32 _B = 32 = 42 5{,}66

   _A 1{,}41 ; _B 5{,}66

4. Étape 4 : c) _A < _B, donc la classe A a les résultats les plus homogènes : ses notes sont bien plus resserrées autour de 12. 👉 Et le rapport vaut exactement 4 : _B = 4_A, puisque 32 = 42. Ce n'est pas une coïncidence — les écarts de B (-8, -4, 0, 4, 8) sont exactement quatre fois ceux de A (-2, -1, 0, 1, 2). Multiplier tous les écarts par 4 multiplie l'écart type par 4, et la variance par 16. Lecture concrète : en classe A, tout le monde tourne autour de 12 ; en classe B, il y a des 4 et des 20. Le professeur n'a pas le même travail devant lui, alors que les deux moyennes sont identiques.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer la somme des écarts sans les élever au carré, et trouver zéro. Ce n'est pas une erreur de calcul : c'est toujours zéro, pour n'importe quelle série. (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0, et c'est précisément la définition de la moyenne. Voilà pourquoi il faut les carrés. Second piège : oublier de diviser par l'effectif, et confondre la somme des carrés avec leur moyenne. À retenir : s'exprime dans la même unité que les données, ce qui la rend lisible. 👉 Et la leçon de l'exercice : deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes. La moyenne dit où l'on est, l'écart type dit à quel point c'est dispersé — il faut les deux.