Arbre de probabilités

Énoncé

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une deuxième boule. a) Construire un arbre de probabilités. b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges. c) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule verte.

Indice : Avec remise, les probabilités restent les mêmes aux deux tirages. P(rouge) = 3/5 et P(verte) = 2/5.

Correction

1. Étape 1 : Un arbre transforme un problème de probabilité en un problème de lecture : chaque chemin est une issue, et sa probabilité est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin. Les deux règles de l'arbre : le long d'un chemin, on multiplie ; entre plusieurs chemins qui conviennent, on additionne. 👉 Et le mot « avec remise » de l'énoncé est décisif : il garantit que les probabilités sont les mêmes aux deux tirages. Sans remise, elles changeraient après le premier tirage et l'arbre ne serait plus symétrique.
2. Étape 2 : a) Le sac contient 3 + 2 = 5 boules, dont 3 rouges. À chaque tirage, puisqu'il y a remise : P(R) = 3{5} et P(V) = 2{5} L'arbre a donc deux niveaux, avec les mêmes probabilités partout, et quatre chemins possibles : RR, RV, VR, VV.

   P(R) = 3{5} ; P(V) = 2{5} à chaque tirage

3. Étape 3 : b) « Deux boules rouges » correspond à un seul chemin, RR. On multiplie le long de ce chemin : [formule]

   P(RR) = 9{25}

4. Étape 4 : c) « Exactement une boule verte » ne dit pas à quel tirage : deux chemins conviennent, RV et VR. On multiplie le long de chacun, puis on additionne : P = {3{5} 2{5}}_{RV} + {2{5} 3{5}}_{VR} = 6{25} + 6{25} = 12{25} 👉 Contrôle imparable : la somme des quatre issues doit faire 1. P(RR) + P(RV) + P(VR) + P(VV) = 9 + 6 + 6 + 4{25} = 25{25} = 1 ✓

   P(exactement une verte) = 12{25}

5. Étape 5 : L'erreur classique : N'compter qu'un seul chemin et répondre 6{25}. « Exactement une verte » ne précise pas l'ordre : la verte peut être tirée en premier ou en second. Les deux chemins conviennent, et il faut les additionner. C'est exactement le même raisonnement que celui du coefficient binomial en Première : compter de combien de façons l'événement peut se produire. À retenir : Le long d'un chemin, on multiplie. Entre plusieurs chemins, on additionne. 👉 Et le contrôle qui prouve tout l'arbre d'un coup : la somme de toutes les issues fait 1. S'il manque un chemin, la somme ne tombe pas juste.