Statistiques avec classes

Énoncé

Les durées d'appel (en minutes) de 50 clients sont regroupées en classes : | Durée (min) | [0 ; 2[ | [2 ; 5[ | [5 ; 10[ | [10 ; 20[ | |-------------|:---------:|:---------:|:----------:|:-----------:| | Effectif | 8 | 15 | 18 | 9 | a) Calculer la moyenne de cette série. b) Dans quelle classe se trouve la médiane ?

Indice : Pour la moyenne, utilise le centre de chaque classe. Pour la médiane, utilise les effectifs cumulés croissants.

Correction

1. Étape 1 : Quand les données sont regroupées en classes, on ne connaît plus les valeurs individuelles : on sait que 15 clients ont appelé entre 2 et 5 minutes, mais pas combien exactement chacun. Traiter des données en classes : 1. calculer le centre de chaque classe (demi-somme des bornes) ; 2. faire comme si tous les individus de la classe valaient ce centre ; 3. pour la médiane, passer par les effectifs cumulés. ⚠️ La moyenne obtenue est donc approchée : c'est le prix du regroupement, et il faut le dire. Elle serait exacte seulement si les valeurs étaient réparties symétriquement dans chaque classe.
2. Étape 2 : a) Les centres des quatre classes : [0\,;2[ 0+2{2} = 1 · [2\,;5[ 2+5{2} = 3{,}5 · [5\,;10[ 7{,}5 · [10\,;20[ 15 Puis la moyenne pondérée par les effectifs : x = 8 1 + 15 3{,5 + 18 7{,}5 + 9 15}{50} = 8 + 52{,5 + 135 + 135}{50} = 330{,5}{50} [formule] Contrôle : 6{,}61 est bien dans l'étendue [0\,;20], et proche de la classe la plus peuplée [5\,;10[ ✓

   x = 6{,}61 min

3. Étape 3 : b) Pour la classe médiane, on calcule les effectifs cumulés croissants : | Classe | [0;2[ | [2;5[ | [5;10[ | [10;20[ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Effectif | 8 | 15 | 18 | 9 | | Cumulé | 8 | 23 | 41 | 50 | La médiane est au rang 50{2} = 25. Or 23 < 25 41 : le 25ᵉ client se trouve donc dans la troisième classe. [formule] 👉 On ne peut pas donner sa valeur exacte : on ignore les 18 durées individuelles de cette classe. On donne donc la classe médiane, et c'est tout ce que l'énoncé demande.

   classe médiane = [5\,;10[

4. Étape 4 : L'erreur classique : Prendre la borne inférieure de chaque classe au lieu de son centre. Avec 0, 2, 5 et 10 au lieu de 1 ; 3,5 ; 7,5 et 15, on trouverait x = 4{,}2 minutes au lieu de 6,61 — un écart de plus de deux minutes, soit un tiers de la valeur. Le centre représente « le client moyen » de la classe ; la borne représente le client le plus rapide, ce qui sous-estime systématiquement. À retenir : Centre = demi-somme des bornes. Effectifs cumulés pour situer la médiane. 👉 Et dire que le résultat est approché : c'est une information, pas une excuse. Le regroupement en classes fait perdre de l'information, et une moyenne calculée ainsi ne peut pas être exacte.