Événement contraire

Énoncé

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Calculer : a) La probabilité de tirer un as. b) La probabilité de ne pas tirer un as. c) La probabilité de tirer un cœur ou un as.

Indice : Il y a 4 as et 13 cœurs dans un jeu de 52 cartes. Attention au roi de cœur qui est déjà un cœur ET... non, l'as de cœur est à la fois un as et un cœur.

Correction

  1. Étape 1 : Trois questions, trois outils différents : le comptage direct, l'événement contraire, et la réunion — cette dernière avec un piège. Deux formules à ne pas confondre : [formule] [formule] 👉 Le terme -P(A B) n'est pas une subtilité de spécialiste : sans lui, on compte deux fois ce qui appartient aux deux événements à la fois. Ici, l'as de cœur est à la fois un as et un cœur. Le repère visuel : deux « patates » qui se chevauchent — la zone commune ne doit être comptée qu'une fois.
  2. Étape 2 : a) Un jeu de 52 cartes contient 4 as (un par couleur) : P(as) = 4{52} = 1{13} b) « Ne pas tirer un as » est l'événement contraire de « tirer un as » : P({as}) = 1 - 1{13} = 12{13} Contrôle par le comptage direct : il y a 52 - 4 = 48 cartes qui ne sont pas des as, et 48{52} = 12{13} ✓ — les deux voies concordent.

    P(as) = 1{13} ; P({as}) = 12{13}

  3. Étape 3 : c) « Un cœur ou un as » est une réunion. On compte : 13 cœurs + 4 as = 17 — mais l'as de cœur a été compté deux fois, une fois comme cœur et une fois comme as. 13 + 4 - 1 = 16 cartes favorables [formule] 👉 Sans le -1, on aurait trouvé 17{52} — une carte de trop, celle qui appartient aux deux catégories.

    P(cœur as) = 4{13}

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Additionner les deux probabilités sans retrancher l'intersection : 13{52} + 4{52} = 17{52}. Le contrôle qui l'attrape : compter les cartes une à une. Il y a 13 cœurs, plus l'as de pique, l'as de carreau et l'as de trèfle — soit 16, et non 17. L'as de cœur est déjà dans les 13. À retenir : [formule] 👉 L'événement contraire est souvent le raccourci : « au moins un » se calcule presque toujours par 1 - P(aucun), comme on le verra en Première avec la loi binomiale.