Médiane et quartiles

Énoncé

Voici les temps (en secondes) de 11 coureurs au 100 m : 11,2 ; 11,5 ; 11,8 ; 12,0 ; 12,1 ; 12,3 ; 12,5 ; 12,8 ; 13,0 ; 13,2 ; 13,5 Déterminer la médiane, Q_1 et Q_3.

Indice : Les valeurs sont déjà ordonnées. Pour 11 valeurs, la médiane est la 6e valeur.

Correction

1. Étape 1 : Médiane et quartiles ne se calculent pas : ils se repèrent par leur rang dans la série, une fois celle-ci rangée dans l'ordre croissant. Repérer les trois valeurs : médiane : partage la série en deux moitiés de même effectif ; Q_1 : au moins un quart des valeurs lui sont inférieures ou égales ; Q_3 : au moins trois quarts des valeurs lui sont inférieures ou égales. 👉 Ici la série est déjà rangée, ce qui n'est pas toujours le cas : c'est le premier réflexe à avoir, sans quoi tous les rangs sont faux. ⚠️ Et une distinction importante : la médiane est une valeur de la série quand l'effectif est impair (ce qui est le cas ici, N = 11).
2. Étape 2 : La médiane. N = 11 est impair, donc il y a une valeur exactement au milieu : celle de rang 11+1{2} = 6. En comptant : 11,2 · 11,5 · 11,8 · 12,0 · 12,1 · 12,3 · 12,5 · 12,8 · 13,0 · 13,2 · 13,5 [formule] Contrôle : il y a bien 5 valeurs avant et 5 après ✓

   Me = 12{,}3 s

3. Étape 3 : Les quartiles. On applique la même idée à chaque moitié, médiane exclue. Première moitié (5 valeurs : 11,2 à 12,1) : sa médiane est la 3ᵉ, donc Q_1 = 11{,}8 s Seconde moitié (5 valeurs : 12,5 à 13,5) : sa médiane est la 3ᵉ de cette moitié, soit la 9ᵉ de la série globale, donc Q_3 = 13{,}0 s

   Q_1 = 11{,}8 s ; Q_3 = 13{,}0 s

4. Étape 4 : 👉 Ce que ces trois nombres racontent. Un quart des coureurs mettent moins de 11,8 s, la moitié moins de 12,3 s, et trois quarts moins de 13,0 s. L'écart interquartile Q_3 - Q_1 = 13{,}0 - 11{,}8 = 1{,}2 s contient la moitié centrale des coureurs : c'est une mesure de dispersion, comme l'écart type, mais insensible aux valeurs extrêmes. Contrôle de cohérence : on doit toujours avoir Q_1 Me Q_3. Ici 11{,}8 12{,}3 13{,}0 ✓
5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de ranger la série avant de compter les rangs. Sur une série non rangée, la « valeur de rang 6 » n'a aucun sens statistique : on lit un nombre au hasard. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce que rien dans le résultat ne la signale. À retenir : Ranger d'abord, toujours. Puis repérer par le rang, jamais par le calcul. 👉 Et le contrôle de cohérence, gratuit : Q_1 Me Q_3. Un ordre inversé signale une erreur de rang.