Lire et représenter un vecteur

Énoncé

Dans le repère orthonormé ci-contre, le vecteur u⃗ est représenté par la flèche d'origine A et d'extrémité B. a) Lire les coordonnées du vecteur u⃗. b) Représenter le vecteur v⃗(-2 ; 3) en prenant pour origine le point C. Quelles sont les coordonnées de l'extrémité D de ce représentant ? c) Représenter le vecteur u⃗ en prenant pour origine le point C ; on note E l'extrémité. Donner les coordonnées de E. Que peut-on dire du quadrilatère ABEC ?

Indice : Les coordonnées de AB⃗ se lisent « extrémité moins origine » : (xB - xA ; yB - yA). Pour représenter un vecteur, pars de l'origine et ajoute ses coordonnées.

Correction

1. Étape 1 : Un vecteur, c'est un déplacement : tant d'unités vers la droite (son abscisse), tant d'unités vers le haut (son ordonnée). Lire et représenter : Lire : AB⃗(xB - xA ; yB - yA) — « extrémité moins origine ». Représenter v⃗(x ; y) depuis un point C : l'extrémité a pour coordonnées (xC + x ; yC + y). Les deux gestes sont inverses l'un de l'autre, et le quadrillage permet de contrôler chaque calcul en comptant les carreaux.
2. Étape 2 : a) Sur la figure, A(-1 ; 1) et B(3 ; 3). De A à B, on avance de 4 unités vers la droite et on monte de 2. Par le calcul : u⃗(3 - (-1) ; 3 - 1) = (4 ; 2) La lecture et le calcul concordent.

   u⃗(4 ; 2)

3. Étape 3 : b) On part de C(2 ; -1) et on applique le déplacement de v⃗(-2 ; 3) : 2 unités vers la gauche, 3 vers le haut. xD = 2 + (-2) = 0 et yD = -1 + 3 = 2 D(0 ; 2) Contrôle : CD⃗(0 - 2 ; 2 - (-1)) = (-2 ; 3) ✓

   D(0 ; 2)

4. Étape 4 : c) De même, on applique à C le déplacement de u⃗(4 ; 2) : E(2 + 4 ; -1 + 2), soit E(6 ; 1). Ainsi CE⃗ = u⃗ = AB⃗ : les flèches de A à B et de C à E sont deux représentants du même vecteur. Et AB⃗ = CE⃗ signifie que ABEC est un parallélogramme (leçon « Vecteurs du plan »). Il n'est pas aplati, car C n'est pas sur la droite (AB) : avec AC⃗(3 ; -2), det(AB⃗, AC⃗) = 4 × (-2) - 3 × 2 = -14 ≠ 0.

   E(6 ; 1)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Lire « origine moins extrémité » : (xA - xB ; yA - yB) = (-4 ; -2). C'est le vecteur BA⃗, l'opposé de u⃗ : la flèche pointe dans l'autre sens. La figure le refuse aussitôt : de A à B, on va vers la droite, donc l'abscisse est positive. À retenir : Extrémité moins origine pour lire ; origine plus coordonnées pour représenter. 👉 Un vecteur n'a pas de position : toutes les flèches de même direction, même sens et même longueur le représentent.