Le théorème des milieux, par les vecteurs

Énoncé

Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. a) Démontrer que IJ⃗ = 1/2BC⃗. b) En déduire que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et comparer les longueurs IJ et BC. c) Soit K le milieu de [BC]. Démontrer que AB⃗ + AC⃗ = 2 AK⃗, puis que AIKJ est un parallélogramme. d) Application : A(1 ; 5), B(-3 ; -1) et C(5 ; 1). Calculer les coordonnées de I, de J et de IJ⃗, et vérifier l'égalité de la question a).

Indice : Caractérisation vectorielle du milieu : si I est le milieu de [AB], alors AI⃗ = 1/2AB⃗, et pour tout point M, MA⃗ + MB⃗ = 2 MI⃗.

Correction

1. Étape 1 : Un théorème du collège, redémontré en quelques lignes : c'est l'efficacité de l'outil vectoriel que le programme met en avant. Caractérisation vectorielle du milieu : I est le milieu de [AB] ⟺ AI⃗ = 1/2AB⃗ ⟺ IA⃗ + IB⃗ = 0⃗. Et alors, pour tout point M : MA⃗ + MB⃗ = 2 MI⃗. 👉 La méthode : décomposer IJ⃗ par la relation de Chasles en passant par A, le sommet commun aux deux segments dont on connaît les milieux.
2. Étape 2 : a) Par la relation de Chasles, en passant par A : IJ⃗ = IA⃗ + AJ⃗ I est le milieu de [AB], donc AI⃗ = 1/2AB⃗, et IA⃗ = 1/2BA⃗. J est le milieu de [AC], donc AJ⃗ = 1/2AC⃗. Ainsi IJ⃗ = 1/2BA⃗ + 1/2AC⃗ = 1/2(BA⃗ + AC⃗) = 1/2BC⃗

   IJ⃗ = 1/2BC⃗

3. Étape 3 : b) IJ⃗ = 1/2BC⃗ : les vecteurs IJ⃗ et BC⃗ sont colinéaires, donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. En norme : IJ = ‖1/2BC⃗‖ = 1/2 BC. Le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.

   (IJ) ∥ (BC) ; IJ = 1/2BC

4. Étape 4 : c) K est le milieu de [BC] : la propriété MB⃗ + MC⃗ = 2 MK⃗, appliquée au point M = A, donne AB⃗ + AC⃗ = 2 AK⃗ Alors AI⃗ + AJ⃗ = 1/2AB⃗ + 1/2AC⃗ = 1/2(AB⃗ + AC⃗) = AK⃗. Or AI⃗ + AJ⃗ = AK⃗ signifie que AJ⃗ = AK⃗ - AI⃗ = IK⃗ : c'est la caractérisation du parallélogramme. AIKJ est un parallélogramme (non aplati, puisque A, B, C ne sont pas alignés).

   AI⃗ + AJ⃗ = AK⃗

5. Étape 5 : d) Formule du milieu : I((1 + (-3))/2 ; (5 + (-1))/2) = I(-1 ; 2) et J((1 + 5)/2 ; (5 + 1)/2) = J(3 ; 3) IJ⃗(3 - (-1) ; 3 - 2) = (4 ; 1) Et BC⃗(5 - (-3) ; 1 - (-1)) = (8 ; 2), donc 1/2BC⃗ a pour coordonnées (4 ; 1) : on retrouve bien IJ⃗ = 1/2BC⃗.

   IJ⃗(4 ; 1) = 1/2BC⃗

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire IA⃗ = 1/2AB⃗ : le sens est faux. De I vers A, c'est la moitié de BA⃗, et non de AB⃗. Avec ce signe faux, on obtiendrait IJ⃗ = 1/2(AB⃗ + AC⃗) = AK⃗, une égalité fausse en général — l'application numérique le montrerait : AK⃗(0 ; -5) ≠ (4 ; 1). À retenir : Décomposer par Chasles en passant par le point qui relie les données, puis traduire « milieu » par AI⃗ = 1/2AB⃗. 👉 Une égalité de vecteurs donne d'un coup le parallélisme (colinéarité) et le rapport des longueurs (normes).