Décomposer un vecteur

Énoncé

Partie A. ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [BC], et J est le point tel que DJ⃗ = 1/3DC⃗. a) Exprimer AC⃗ et BD⃗ en fonction de AB⃗ et AD⃗. b) Exprimer AI⃗ et AJ⃗ en fonction de AB⃗ et AD⃗. Partie B. Dans un repère, on donne u⃗(2 ; 1) et v⃗(-1 ; 3). c) Vérifier que u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires. d) Calculer les coordonnées de w⃗ = 3u⃗ - 2v⃗, puis vérifier que le vecteur t⃗(0 ; 7) est égal à u⃗ + 2v⃗.

Indice : Partie A : relation de Chasles, en passant par un sommet bien choisi, et BC⃗ = AD⃗, DC⃗ = AB⃗ dans le parallélogramme.

Correction

1. Étape 1 : AB⃗ et AD⃗ ne sont pas colinéaires : tout vecteur du plan s'écrit, de façon unique, a AB⃗ + b AD⃗. Il s'agit de trouver a et b. Décomposer avec la relation de Chasles : 1. Partir de A et passer par un sommet du parallélogramme : AI⃗ = AB⃗ + BI⃗. 2. Exprimer le second vecteur avec les côtés : dans ABCD, BC⃗ = AD⃗ et DC⃗ = AB⃗. 👉 En coordonnées (partie B), les mêmes opérations se font coordonnée par coordonnée.
2. Étape 2 : a) Par la règle du parallélogramme (représentants de même origine A) : AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = AB⃗ + AD⃗ Puis BD⃗ = BA⃗ + AD⃗ = -AB⃗ + AD⃗. ℹ️ Les deux diagonales s'écrivent avec les deux mêmes vecteurs : leur somme pour AC⃗, leur différence pour BD⃗.

   AC⃗ = AB⃗ + AD⃗ ; BD⃗ = -AB⃗ + AD⃗

3. Étape 3 : b) I est le milieu de [BC], donc BI⃗ = 1/2BC⃗ = 1/2AD⃗ : AI⃗ = AB⃗ + BI⃗ = AB⃗ + 1/2AD⃗ Pour J, on passe par D : DJ⃗ = 1/3DC⃗ = 1/3AB⃗, donc AJ⃗ = AD⃗ + DJ⃗ = 1/3AB⃗ + AD⃗ Contrôle sur la figure : avec A(0 ; 0), AB⃗(6 ; 0) et AD⃗(2 ; 4), on obtient AI⃗(6 + 1 ; 0 + 2) = (7 ; 2) et AJ⃗(2 + 2 ; 0 + 4) = (4 ; 4) : ce sont bien les points I et J dessinés.

   AI⃗ = AB⃗ + 1/2AD⃗ ; AJ⃗ = 1/3AB⃗ + AD⃗

4. Étape 4 : c) det(u⃗, v⃗) = 2 × 3 - (-1) × 1 = 6 + 1 = 7 ≠ 0 : u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires. d) 3u⃗(6 ; 3) et 2v⃗(-2 ; 6), donc w⃗ = 3u⃗ - 2v⃗ a pour coordonnées (6 - (-2) ; 3 - 6) = (8 ; -3). Et u⃗ + 2v⃗ a pour coordonnées (2 + (-2) ; 1 + 6) = (0 ; 7) : c'est bien t⃗.

   w⃗(8 ; -3) ; t⃗ = u⃗ + 2v⃗

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire AI⃗ = AB⃗ + 1/2AB⃗ en oubliant que BC⃗ est le côté parallèle à [AD]. Le repère : dans ABCD, chaque côté est égal, en vecteur, au côté opposé : BC⃗ = AD⃗ et DC⃗ = AB⃗. À retenir : Pour décomposer selon deux vecteurs non colinéaires : Chasles par un sommet bien choisi, puis les égalités de vecteurs de la figure. 👉 Règle du parallélogramme : AB⃗ + AD⃗ = AC⃗, la diagonale issue de l'origine commune.