Vecteur directeur et équation cartésienne

Énoncé

Soit d la droite passant par A(1 ; 2) et de vecteur directeur u⃗(3 ; -1). a) Déterminer une équation cartésienne de d. b) Le point B(7 ; 0) appartient-il à d ? Et le point C(-2 ; 4) ? c) Déterminer l'équation réduite de d, puis sa pente. d) Donner un vecteur directeur de la droite d' d'équation 2x - 5y + 1 = 0. Les droites d et d' sont-elles parallèles ?

Indice : Pour un point M(x ; y), M ∈ d si et seulement si AM⃗ et u⃗ sont colinéaires, c'est-à-dire det(AM⃗, u⃗) = 0.

Correction

1. Étape 1 : Une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur, et tout se ramène à la colinéarité. Équation par un point et un vecteur directeur : M(x ; y) est sur d ⟺ AM⃗ et u⃗ sont colinéaires ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0. On développe ce déterminant : on obtient une équation ax + by + c = 0. 👉 Dans l'autre sens, sur une équation ax + by + c = 0, un vecteur directeur se lit : (-b ; a). ⚠️ Une droite a une infinité d'équations cartésiennes (on peut tout multiplier par un même nombre non nul) : deux élèves peuvent trouver des équations différentes et avoir raison tous les deux.
2. Étape 2 : a) Pour M(x ; y) : AM⃗(x - 1 ; y - 2) et u⃗(3 ; -1). det(AM⃗, u⃗) = (x - 1) × (-1) - 3 × (y - 2) = -x + 1 - 3y + 6 = -x - 3y + 7 Une équation de d est -x - 3y + 7 = 0, ou, en multipliant par -1 : d : x + 3y - 7 = 0 Contrôle : A vérifie l'équation (1 + 6 - 7 = 0), et le point (4 ; 1), obtenu en ajoutant u⃗ à A, aussi (4 + 3 - 7 = 0).

   d : x + 3y - 7 = 0

3. Étape 3 : b) On remplace les coordonnées dans l'équation. B(7 ; 0) : 7 + 3 × 0 - 7 = 0, donc B ∈ d. C(-2 ; 4) : -2 + 3 × 4 - 7 = 3 ≠ 0, donc C ∉ d. 👉 Le test est le même que pour une courbe : un point est sur la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.

   B ∈ d ; C ∉ d

4. Étape 4 : c) On isole y : x + 3y - 7 = 0 ⟺ 3y = -x + 7 ⟺ y = -1/3x + 7/3 La pente est -1/3. Contrôle avec le vecteur directeur u⃗(3 ; -1) : la pente vaut β/α = (-1)/3. Les deux calculs concordent.

   y = -1/3x + 7/3

5. Étape 5 : d) Pour d' : 2x - 5y + 1 = 0, on a a = 2 et b = -5 : un vecteur directeur est u'⃗(-b ; a) = (5 ; 2). Les droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires : det(u⃗, u'⃗) = 3 × 2 - 5 × (-1) = 6 + 5 = 11 ≠ 0 Les vecteurs ne sont pas colinéaires : d et d' ne sont pas parallèles, elles sont sécantes. (Les pentes le confirment : -1/3 pour d, 2/5 pour d'.)

   det(u⃗, u'⃗) = 11 ≠ 0

6. Étape 6 : L'erreur classique : Prendre (a ; b) = (2 ; -5), les coefficients de x et de y, pour un vecteur directeur de d'. Ce vecteur n'a pas la direction de la droite. Le contrôle est immédiat : (1 ; 0,6) est sur d' (2 - 3 + 1 = 0), et en lui ajoutant (5 ; 2) on obtient (6 ; 2,6), encore sur d' (12 - 13 + 1 = 0) ; en lui ajoutant (2 ; -5) on obtient (3 ; -4,4), qui n'y est pas (6 + 22 + 1 = 29). À retenir : M ∈ d ⟺ det(AM⃗, u⃗) = 0 ; et pour ax + by + c = 0, un vecteur directeur est (-b ; a). 👉 Toujours vérifier l'équation trouvée avec le point donné et avec un second point de la droite.