Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme (vecteurs)

Énoncé

Soit A(-1 ; 2), B(3 ; 4), C(5 ; 0) et D(1 ; -2). a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC. b) En déduire que ABCD est un parallélogramme. c) Calculer les coordonnées du centre du parallélogramme (intersection des diagonales). d) Ce parallélogramme est-il un losange ? Justifier.

Indice : Un quadrilatère est un parallélogramme ssi AB = DC. Pour le losange, vérifie si tous les côtés ont la même longueur.

Correction

1. Étape 1 : **a)** ABpmatrix3-(-1)4-2pmatrix = pmatrix42pmatrix et DCpmatrix5-10-(-2)pmatrix = pmatrix42pmatrix.
2. Étape 2 : **b)** AB = DC, donc ABCD est un **parallélogramme**.
3. Étape 3 : **c)** Le centre est le milieu de [AC] (ou de [BD]) : I(-1+5{2} ; 2+0{2}) = I(2 ; 1).
4. Étape 4 : **d)** AB = 4^2 + 2^2 = 20 = 25. AD = (1-(-1))^2+(-2-2)^2 = 4+16 = 20 = 25.
5. Étape 5 : AB = AD = 25. Deux côtés consécutifs sont de même longueur, donc ABCD est un **losange**.