Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme (vecteurs)

Énoncé

Soit A(-1 ; 2), B(3 ; 4), C(5 ; 0) et D(1 ; -2). a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC. b) En déduire que ABCD est un parallélogramme. c) Calculer les coordonnées du centre du parallélogramme (intersection des diagonales). d) Ce parallélogramme est-il un losange ? Justifier.

Indice : Un quadrilatère est un parallélogramme ssi AB = DC. Pour le losange, vérifie si tous les côtés ont la même longueur.

Correction

1. Étape 1 : Quatre questions qui suivent la hiérarchie des quadrilatères : on établit d'abord le cas général, puis on affine. La hiérarchie des parallélogrammes : AB = DC parallélogramme + diagonales de même longueur rectangle + deux côtés consécutifs égaux losange + les deux carré 👉 Et une remarque qui explique pourquoi « deux côtés consécutifs » suffisent : dans un parallélogramme, les côtés opposés sont déjà égaux. Si deux côtés consécutifs le sont aussi, alors les quatre le sont.
2. Étape 2 : a) Avec A(-1\,;\,2), B(3\,;\,4), C(5\,;\,0) et D(1\,;\,-2) : ABpmatrix 3-(-1) 4-2 pmatrix = pmatrix 4 2 pmatrix DCpmatrix 5-1 0-(-2) pmatrix = pmatrix 4 2 pmatrix b) Les deux vecteurs sont égaux, donc ABCD est un parallélogramme.

   AB = DCpmatrix 4 2 pmatrix

3. Étape 3 : c) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun : le centre est donc le milieu de [AC]. I(-1+5{2} \,;\, 2+0{2}) = I(2\,;\,1) Contrôle par l'autre diagonale : milieu de [BD] = (3+1{2} \,;\, 4+(-2){2}) = (2\,;\,1) ✓ Les deux coïncident, ce qui confirme à la fois le centre et le parallélogramme.

   I(2\,;\,1)

4. Étape 4 : d) On compare deux côtés consécutifs : AB = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 = 25 AD = (1-(-1))^2 + (-2-2)^2 = 4 + 16 = 20 = 25 AB = AD, donc les quatre côtés sont égaux : [formule]

   AB = AD = 25 losange

5. Étape 5 : 👉 Et l'on peut aller plus loin : c'est en réalité un CARRÉ. Il suffit de tester le critère du rectangle sur ce losange, c'est-à-dire de comparer les diagonales : AC = (5-(-1))^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 BD = (1-3)^2 + (-2-4)^2 = 4 + 36 = 40 Les diagonales sont égales ! Un losange dont les diagonales sont de même longueur est un carré. Contrôle : dans un carré de côté c, la diagonale vaut c2. Ici 25 2 = 210 = 40 ✓ — tout concorde.

   AC = BD = 40 c\'est un CARRÉ

6. Étape 6 : L'erreur classique : S'arrêter à « losange » alors que le quadrilatère est un carré. Ce n'est pas faux — un carré est un losange — mais c'est moins précis, et un correcteur attend la caractérisation la plus fine. Le réflexe : une fois un losange établi, tester aussi les diagonales, et réciproquement. À retenir : La hiérarchie complète, et le fait que tout se calcule avec la seule formule de distance : côtés consécutifs égaux losange · diagonales égales rectangle · les deux carré. 👉 Et le contrôle de cohérence, gratuit : dans un carré de côté c, la diagonale vaut c2.