Coordonnées du translaté d'un triangle

Énoncé

Soit le triangle ABC avec A(1 ; 2), B(5 ; 3) et C(3 ; 6). On effectue la translation de vecteur vpmatrix 2 -3 pmatrix. a) Déterminer les coordonnées de A', B' et C', images respectives de A, B et C. b) Vérifier que A'B' = AB. c) Montrer que (A'B') est parallèle à (AB).

Indice : Ajoute les composantes du vecteur à chaque sommet. La translation conserve les distances et le parallélisme.

Correction

1. Étape 1 : Une translation conserve tout : longueurs, angles, aires, parallélisme. Les questions b) et c) ne font que le vérifier sur un exemple — elles ne le démontrent pas, et il est bon de le savoir avant de calculer. Ce qu'une translation conserve : Les longueurs (A'B' = AB), les angles, les aires, et les directions : A'B' = AB, donc (A'B') (AB). 👉 La raison tient en une ligne : tous les points se déplacent du même vecteur, donc les écarts entre eux ne changent pas. La figure est simplement déplacée, jamais déformée.
2. Étape 2 : a) On ajoute vpmatrix 2 -3 pmatrix à chaque point : A'(1+2 \,;\, 2-3) = A'(3\,;\,-1) B'(5+2 \,;\, 3-3) = B'(7\,;\,0) C'(3+2 \,;\, 6-3) = C'(5\,;\,3)

   A'(3\,;\,-1) ; B'(7\,;\,0) ; C'(5\,;\,3)

3. Étape 3 : b) On calcule les deux longueurs : AB = (5-1)^2 + (3-2)^2 = 16 + 1 = 17 A'B' = (7-3)^2 + (0-(-1))^2 = 16 + 1 = 17 [formule] 👉 Les deux calculs donnent exactement les mêmes écarts — 4 et 1 — et ce n'est pas un hasard : la translation a décalé les deux points de la même quantité, donc leur différence est inchangée.

   A'B' = AB = 17

4. Étape 4 : c) On compare les deux vecteurs : ABpmatrix 4 1 pmatrix et A'B'pmatrix 4 1 pmatrix Les vecteurs sont égaux, donc ils ont la même direction, donc [formule] ℹ️ Deux vecteurs égaux disent même plus que le parallélisme : même direction, même sens et même longueur. Le parallélisme n'en est qu'une conséquence.

   A\'B\' = AB (A\'B\') (AB)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire qu'il faut démontrer la conservation des longueurs à partir de ce calcul. Une translation les conserve toujours — c'est une propriété du cours. Les questions b) et c) demandent seulement de le constater sur cet exemple, ce qui n'est pas la même chose et n'exige aucune généralisation. À retenir : Une translation conserve longueurs, angles, aires et parallélisme : elle déplace la figure sans la déformer. 👉 Et deux vecteurs égaux impliquent des droites parallèles — mais la réciproque est fausse : deux droites parallèles peuvent porter des vecteurs de longueurs différentes.