Composition de symétries centrales

Énoncé

Soit S_A la symétrie de centre A(1 ; 3) et S_B la symétrie de centre B(4 ; 1). a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S_B S_A. b) Calculer l'image du point M(2 ; 5) par S_B S_A. c) Vérifier en appliquant d'abord S_A puis S_B successivement au point M.

Indice : La composée de deux symétries centrales de centres A et B est la translation de vecteur 2AB.

Correction

1. Étape 1 : **a)** ABpmatrix3-2pmatrix, donc 2AB = pmatrix6-4pmatrix. La composée S_B S_A est la translation de vecteur pmatrix6-4pmatrix.
2. Étape 2 : **b)** Par la translation : M'(2 + 6 \;;\; 5 + (-4)) = M'(8 ; 1).
3. Étape 3 : **c)** S_A(M) : M_1(2 1 - 2 \;;\; 2 3 - 5) = M_1(0 ; 1). Puis S_B(M_1) : M'(2 4 - 0 \;;\; 2 1 - 1) = M'(8 ; 1) ✅.