Composition de symétries centrales

Énoncé

Soit S_A la symétrie de centre A(1 ; 3) et S_B la symétrie de centre B(4 ; 1). a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S_B S_A. b) Calculer l'image du point M(2 ; 5) par S_B S_A. c) Vérifier en appliquant d'abord S_A puis S_B successivement au point M.

Indice : La composée de deux symétries centrales de centres A et B est la translation de vecteur 2AB.

Correction

1. Étape 1 : Composer deux symétries centrales donne une translation — un résultat qui surprend la première fois, et qu'il vaut mieux énoncer avant de calculer. Composée de deux symétries centrales : [formule] 👉 Le facteur 2 se comprend : le premier retournement place le point de l'autre côté de A, le second de l'autre côté de B, et l'effet cumulé est un décalage de deux fois la distance de A à B. ⚠️ Et l'ordre de lecture est de droite à gauche : S_B S_A signifie « d'abord S_A, ensuite S_B ». C'est la convention de toutes les compositions.
2. Étape 2 : a) On calcule d'abord AB avec A(1\,;\,3) et B(4\,;\,1) : ABpmatrix 3 -2 pmatrix donc 2\,ABpmatrix 6 -4 pmatrix S_B S_A est la translation de vecteur pmatrix 6 -4 pmatrix. Ce sont les « éléments caractéristiques » que l'énoncé demande : la nature (une translation) et le vecteur.

   S_B S_A = t_{u} avec upmatrix 6 -4 pmatrix

3. Étape 3 : b) On applique directement la translation à M(2\,;\,5) : M'(2 + 6 \,;\, 5 + (-4)) = M'(8\,;\,1)

   M'(8\,;\,1)

4. Étape 4 : c) Vérification pas à pas, en appliquant réellement les deux symétries l'une après l'autre. D'abord S_A, de centre A(1\,;\,3) : M_1(2 1 - 2 \,;\, 2 3 - 5) = M_1(0\,;\,1) Puis S_B, de centre B(4\,;\,1), appliquée à M_1 : M'(2 4 - 0 \,;\, 2 1 - 1) = M'(8\,;\,1) ✓ On retrouve bien le même point qu'en question b) — ce qui confirme la propriété.

   M'(8\,;\,1) par les deux voies

5. Étape 5 : L'erreur classique : Lire S_B S_A comme « d'abord S_B ». La composition se lit de droite à gauche, comme pour les fonctions : f g signifie « g puis f ». Ici l'ordre change le résultat : S_A S_B serait la translation de vecteur 2\,BA, soit pmatrix -6 4 pmatrix — l'opposé. À retenir : [formule] et la lecture de droite à gauche. 👉 Et le contrôle qui vaut mieux qu'une formule apprise : appliquer les deux symétries successivement sur un point. Si l'on retrouve le même résultat, la propriété est confirmée sur cet exemple.