Translation par un vecteur donné

Énoncé

Soit le vecteur upmatrix -3 2 pmatrix. Déterminer les images des points suivants par la translation de vecteur u : a) A(5 ; 1) b) B(-1 ; -4) c) C(0 ; 3)

Indice : L'image de M(x ; y) par la translation de vecteur u(a ; b) est M'(x + a ; y + b).

Correction

1. Étape 1 : Une translation déplace tous les points dans la même direction, de la même distance. Elle s'obtient donc en ajoutant les coordonnées du vecteur. Image par une translation : [formule] 👉 Et c'est bien une addition, alors que la symétrie centrale faisait 2x_O - x_A. Les deux transformations se confondent facilement : le repère est qu'une translation est donnée par un vecteur (un déplacement), une symétrie par un point (un centre).
2. Étape 2 : Le vecteur est upmatrix -3 2 pmatrix : chaque point recule de 3 et monte de 2. a) A(5\,;\,1) : A'(5 + (-3) \,;\, 1 + 2) = A'(2\,;\,3) b) B(-1\,;\,-4) : B'(-1 + (-3) \,;\, -4 + 2) = B'(-4\,;\,-2)

   A'(2\,;\,3) ; B'(-4\,;\,-2)

3. Étape 3 : c) C(0\,;\,3) : C'(0 + (-3) \,;\, 3 + 2) = C'(-3\,;\,5) 👉 Contrôle global, valable pour les trois : dans une translation, tous les points se déplacent exactement pareil. On peut donc vérifier en calculant AA', BB' et CC' — les trois doivent valoir u. AA'pmatrix 2-5 3-1 pmatrix = pmatrix -3 2 pmatrix ✓ et de même pour les deux autres.

   C'(-3\,;\,5)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Soustraire les coordonnées du vecteur au lieu de les ajouter — ou appliquer la formule de la symétrie centrale par confusion. Le repère qui les sépare : une translation est définie par un vecteur (elle décale), une symétrie centrale par un point (elle retourne). Les deux données ne se ressemblent même pas dans l'énoncé. À retenir : Translation on ajoute le vecteur. Symétrie centrale 2 centre - point. 👉 Et le contrôle propre à la translation : MM' = u pour tout point M. Si deux points ne se déplacent pas du même vecteur, ce n'est pas une translation.