Symétrie centrale – image d'un point

Énoncé

Déterminer les coordonnées de l'image de chaque point par la symétrie de centre O indiqué : a) A(4 ; 3), centre O(1 ; 2) b) B(-2 ; 5), centre O(0 ; 0) c) C(3 ; -1), centre O(2 ; 3)

Indice : L'image M' de M par la symétrie de centre O vérifie M'(2x_O - x_M ; 2y_O - y_M).

Correction

1. Étape 1 : Le symétrique d'un point A par rapport à un centre O est le point A' tel que O soit le milieu de [AA']. Toute la formule vient de là. Image par une symétrie centrale : Si O est le milieu de [AA'], alors x_O = x_A + x_{A'}{2}, d'où [formule] 👉 Il n'y a donc rien de nouveau à retenir : c'est la formule du milieu, retournée. Savoir la retrouver dispense de l'apprendre — et évite de la confondre avec celle de la translation.
2. Étape 2 : a) A(4\,;\,3), centre O(1\,;\,2) : x_{A'} = 2 1 - 4 = -2 et y_{A'} = 2 2 - 3 = 1 [formule] Contrôle : le milieu de [AA'] est (4 + (-2){2}\,;\,3+1{2}) = (1\,;\,2) = O ✓

   A'(-2\,;\,1)

3. Étape 3 : b) B(-2\,;\,5), centre O(0\,;\,0) — l'origine : x_{B'} = 2 0 - (-2) = 2 et y_{B'} = 2 0 - 5 = -5 [formule] 👉 Cas particulier remarquable : la symétrie par rapport à l'origine change simplement les deux coordonnées de signe. B(-2\,;\,5) B'(2\,;\,-5).

   B'(2\,;\,-5)

4. Étape 4 : c) C(3\,;\,-1), centre O(2\,;\,3) : x_{C'} = 2 2 - 3 = 1 et y_{C'} = 2 3 - (-1) = 6 + 1 = 7 [formule] ⚠️ Attention au double signe : -(-1) = +1. Contrôle : milieu de [CC'] = (3+1{2}\,;\,-1+7{2}) = (2\,;\,3) = O ✓

   C'(1\,;\,7)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le facteur 2 et écrire x_{A'} = x_O - x_A. On obtiendrait 1 - 4 = -3 au lieu de -2, et le milieu ne tomberait plus sur O. Le contrôle par le milieu attrape systématiquement cette erreur, et il ne coûte qu'une ligne. À retenir : [formule] qui n'est que la formule du milieu retournée. 👉 Et le contrôle qui va avec : recalculer le milieu de [AA'] et vérifier qu'on retombe sur O. C'est la définition même, donc c'est infaillible.