Démontrer un parallélogramme

Énoncé

Soit A(-2 ; 1), B(3 ; 3), C(4 ; 6) et D(-1 ; 4). Démontrer que ABCD est un parallélogramme. Est-ce un rectangle ?

Indice : Pour le parallélogramme, montre que AB = DC. Pour le rectangle, vérifie que deux côtés consécutifs sont perpendiculaires (produit scalaire nul ou Pythagore).

Correction

  1. Étape 1 : Deux questions, deux critères différents. Le premier est vectoriel ; le second se traite par les diagonales. Les deux critères utiles ici : ABCD est un parallélogramme AB = DC Un parallélogramme est un rectangle ses diagonales ont la même longueur 👉 Le second critère est celui du collège, et il est entièrement calculable avec la formule de distance : il suffit de comparer AC et BD. Nul besoin d'un outil sur les angles — et c'est heureux, car on n'en a pas encore en Seconde. ℹ️ Une autre voie existe : appliquer le théorème de Pythagore à un triangle formé par deux côtés et une diagonale. Elle est donnée en contre-épreuve à la fin.
  2. Étape 2 : Le parallélogramme. Avec A(-2\,;\,1), B(3\,;\,3), C(4\,;\,6) et D(-1\,;\,4) : ABpmatrix 3-(-2) 3-1 pmatrix = pmatrix 5 2 pmatrix DCpmatrix 4-(-1) 6-4 pmatrix = pmatrix 5 2 pmatrix Les deux vecteurs sont égaux, donc [formule]

    AB = DC ABCD parallélogramme

  3. Étape 3 : Est-ce un rectangle ? On compare les longueurs des deux diagonales, [AC] et [BD] : AC = (4-(-2))^2 + (6-1)^2 = 36 + 25 = 61 7{,}81 BD = (-1-3)^2 + (4-3)^2 = 16 + 1 = 17 4{,}12 [formule] Les diagonales n'ont pas la même longueur, donc ABCD n'est pas un rectangle. 👉 L'écart est d'ailleurs considérable (7,8 contre 4,1) : le parallélogramme est très « aplati », loin d'un rectangle.

    AC = 61 17 = BD pas un rectangle

  4. Étape 4 : Contre-épreuve par Pythagore. Si l'angle en A était droit, le triangle ABD vérifierait AB^2 + AD^2 = BD^2. AB^2 = 5^2 + 2^2 = 29 AD^2 = (-1-(-2))^2 + (4-1)^2 = 1 + 9 = 10 BD^2 = 17 AB^2 + AD^2 = 29 + 10 = 39 17 L'angle en A n'est donc pas droit — même conclusion, par une voie indépendante ✓ 👉 Deux méthodes qui concordent valent mieux qu'une seule : c'est le meilleur contrôle possible.
  5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher à conclure sur l'angle droit sans outil, en se fiant à l'allure de la figure. En Seconde, il n'existe que deux voies pour établir qu'un angle est droit à partir de coordonnées : les diagonales (pour un parallélogramme) ou Pythagore (sur un triangle). Le produit scalaire, qui répondrait directement, n'arrive qu'en Première. À retenir : [formule] [formule] [formule] 👉 Ces trois critères se calculent tous avec la seule formule de distance.