Point symétrique

Énoncé

Soit A(3 ; -1) et I(1 ; 4). Déterminer les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à I.

Indice : Si I est le milieu de [AB], alors x_I = x_A + x_B{2}.

Correction

1. Étape 1 : Le point B symétrique de A par rapport à I est défini par une seule condition : I est le milieu de [AB]. Tout découle de là. Deux voies équivalentes : Poser l'équation du milieu et résoudre : [formule] ou bien appliquer la formule directe, qui en est la résolution : [formule] 👉 Savoir passer de l'une à l'autre dispense d'apprendre la seconde — et évite de la confondre avec la formule de la translation, qui est une simple addition.
2. Étape 2 : Avec A(3\,;\,-1) et I(1\,;\,4), la condition « I milieu de [AB] » s'écrit : 1 = 3 + x_B{2} et 4 = -1 + y_B{2} On multiplie chaque égalité par 2, puis on isole : x_B = 2 1 - 3 = -1 y_B = 2 4 - (-1) = 8 + 1 = 9 [formule] ⚠️ Le double signe sur l'ordonnée : -(-1) = +1, donc 9 et non 7.

   B(-1\,;\,9)

3. Étape 3 : Vérification — et elle est immédiate, puisqu'il suffit de recalculer le milieu : (3 + (-1){2} \,;\, -1 + 9{2}) = (2{2} \,;\, 8{2}) = (1\,;\,4) = I ✓ 👉 C'est la définition même du symétrique : le contrôle ne peut donc pas se tromper, et il attrape toutes les erreurs de signe.
4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le double signe, et écrire y_B = 2 4 - 1 = 7. La coordonnée de A vaut -1, donc on soustrait -1, ce qui revient à ajouter 1. Le contrôle par le milieu le refuse aussitôt : -1+7{2} = 3 4. À retenir : [formule] — la formule du milieu retournée. 👉 Et toujours recalculer le milieu pour vérifier. C'est la définition, donc c'est infaillible, et cela coûte une ligne.