Triangle rectangle ?

Énoncé

Soit A(-1 ; 3), B(3 ; 5) et C(5 ; 1). Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Indice : Calcule les trois longueurs au carré. Si la somme de deux carrés égale le troisième, le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore).

Correction

1. Étape 1 : Pour savoir si un triangle est rectangle sans mesurer d'angle, on emploie la réciproque du théorème de Pythagore. Réciproque du théorème de Pythagore : Si a^2 + b^2 = c^2, où c est le plus grand côté, alors le triangle est rectangle — et l'angle droit se trouve au sommet opposé à c. 👉 Deux réflexes en découlent, et ils font gagner beaucoup de temps : calculer les carrés directement, sans passer par les racines — puisque c'est sur eux que porte le test ; repérer le plus grand avant de tester, car c'est lui l'hypoténuse.
2. Étape 2 : On calcule les trois carrés, avec A(-1\,;\,3), B(3\,;\,5) et C(5\,;\,1) : AB^2 = (3-(-1))^2 + (5-3)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 BC^2 = (5-3)^2 + (1-5)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20 AC^2 = (5-(-1))^2 + (1-3)^2 = 6^2 + (-2)^2 = 36 + 4 = 40 👉 On ne prend aucune racine carrée : le test de Pythagore porte sur les carrés, donc les extraire pour les remettre au carré ensuite serait du travail perdu.

   AB^2 = 20 ; BC^2 = 20 ; AC^2 = 40

3. Étape 3 : Le plus grand carré est AC^2 = 40 : c'est donc [AC] qui joue le rôle de l'hypoténuse, si le triangle est rectangle. On teste la somme des deux autres : AB^2 + BC^2 = 20 + 20 = 40 = AC^2 ✓ Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé à [AC], c'est-à-dire : [formule]

   AB^2 + BC^2 = AC^2 rectangle en B

4. Étape 4 : 👉 Et il est même isocèle. On avait AB^2 = BC^2 = 20, donc AB = BC = 20 = 25. Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en B — la caractérisation la plus précise. ℹ️ Cohérence : dans un triangle rectangle isocèle, l'hypoténuse vaut le côté multiplié par 2. Ici 25 2 = 210 = 40 ✓ — c'est bien AC.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Tester avec le mauvais côté en hypoténuse. Si l'on avait écrit AB^2 + AC^2 = 20 + 40 = 60 BC^2 = 20, on aurait conclu « pas rectangle » — alors qu'il l'est. Le côté le plus grand doit être seul d'un côté de l'égalité, et il faut donc le repérer avant de tester. À retenir : Travailler sur les carrés des longueurs, repérer le plus grand, tester, et placer l'angle droit au sommet opposé. 👉 Et pousser jusqu'à la caractérisation la plus précise : « rectangle isocèle en B » vaut mieux que « rectangle ».