Relation de Chasles

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) AB + BC + CD b) MA + BM c) AB - AC

Indice : Utilise la relation de Chasles : AB + BC = AC. Et AB - AC = AB + CA.

Correction

1. Étape 1 : La relation de Chasles dit une chose simple : seuls comptent le point de départ et le point d'arrivée, le chemin emprunté n'a aucune importance. Relation de Chasles : [formule] La lettre du milieu disparaît. 👉 La méthode est donc de réorganiser les termes pour faire apparaître une lettre commune entre la fin de l'un et le début de l'autre. C'est toujours possible, car l'addition de vecteurs est commutative : on a le droit de les échanger. ⚠️ Et une soustraction se transforme en addition de l'opposé : -AC = CA — on retourne simplement le vecteur.
2. Étape 2 : a) AB + BC + CD Les lettres s'enchaînent déjà : A B, puis B C, puis C D. AB + BC = AC, puis AC + CD = AD [formule]

   AD

3. Étape 3 : b) MA + BM Dans cet ordre, les lettres ne s'enchaînent pas : M A puis B M. Mais l'addition est commutative, donc on échange : MA + BM = BM + MA = BA [formule] 👉 C'est le geste à retenir : quand ça ne s'enchaîne pas, on commute avant de conclure qu'on ne peut rien faire.

   BA

4. Étape 4 : c) AB - AC Une soustraction devient une addition de l'opposé, et l'opposé d'un vecteur s'obtient en inversant ses deux lettres : -AC = CA AB - AC = AB + CA = CA + AB = CB [formule]

   CB

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure qu'une somme « ne se simplifie pas » parce que les lettres ne s'enchaînent pas dans l'ordre écrit. L'addition de vecteurs est commutative : MA + BM et BM + MA sont le même vecteur. Il faut donc essayer les deux ordres avant de renoncer. À retenir : Chasles enchaîne quand la lettre d'arrivée de l'un est celle de départ de l'autre. Sinon, on commute. [formule] 👉 Et le contrôle : le résultat doit partir de la première lettre non simplifiée et arriver à la dernière. En c), on part de C et l'on arrive en B ✓