Nature d'un triangle

Énoncé

Soit A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(2 ; 23). a) Calculer AB, AC et BC. b) En déduire la nature du triangle ABC.

Indice : Calcule les trois distances et compare-les. Si les trois côtés sont égaux, le triangle est équilatéral.

Correction

1. Étape 1 : Déterminer la nature d'un triangle à partir de coordonnées, c'est calculer ses trois côtés et les comparer. En Seconde, il n'y a pas d'autre méthode, et il n'en faut pas d'autre. Quelle nature selon les longueurs : trois côtés égaux équilatéral ; exactement deux côtés égaux isocèle, et l'on précise en quel sommet ; a^2 + b^2 = c^2 rectangle, par la réciproque de Pythagore. 👉 Il faut calculer les trois longueurs, même si les deux premières sont déjà égales, car deux côtés égaux ne disent pas encore si le troisième l'est aussi.
2. Étape 2 : a) Avec A(0\,;\,0), B(4\,;\,0) et C(2\,;\,23). AB = (4-0)^2 + (0-0)^2 = 16 = 4 AC = (2-0)^2 + (2{3-0)^2} = 4 + 12 = 16 = 4 ⚠️ (23)^2 = 2^2 (3)^2 = 4 3 = 12. Le carré porte sur le 2 et sur la racine — c'est le calcul le plus délicat de l'exercice.

   AB = 4 ; AC = 4

3. Étape 3 : BC = (2-4)^2 + (2{3-0)^2} = (-2)^2 + 12 = 4 + 12 = 16 = 4 b) Les trois côtés valent 4 : [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : dans un triangle équilatéral de côté 4, la hauteur vaut 4{3}{2} = 23 — exactement l'ordonnée de C. Tout est cohérent.

   AB = AC = BC = 4 équilatéral

4. Étape 4 : L'erreur classique : Se tromper sur (23)^2. Ce n'est ni 2 3 = 6, ni 12, ni 29 : c'est 4 3 = 12. Le carré s'applique à chacun des deux facteurs. Second piège : s'arrêter après avoir trouvé AB = AC et conclure « isocèle ». Le troisième côté valait 4 lui aussi — le triangle est équilatéral, ce qui est plus précis. À retenir : Calculer les trois côtés, toujours, puis conclure. 👉 (ab)^2 = a^2 b : le carré porte sur les deux facteurs. C'est l'erreur de calcul la plus fréquente de tout le chapitre de géométrie.