Parallélogramme

Énoncé

Soit A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(6 ; 7). a) Déterminer D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Vérifier que les diagonales se coupent en leur milieu.

Indice : Pour un parallélogramme, AB = DC.

Correction

1. Étape 1 : Le critère vectoriel du parallélogramme demande une attention particulière à l'ordre des lettres — c'est là que tout se joue. Critère du parallélogramme : [formule] 👉 Pourquoi DC et non CD ? Parce qu'on parcourt le quadrilatère dans l'ordre A B C D : les côtés [AB] et [DC] sont opposés et parcourus dans le même sens. Un croquis même grossier suffit à le voir, et il vaut mieux le faire que de retenir la formule par cœur. ⚠️ Écrire AB = CD construit un quadrilatère croisé, qui n'est pas un parallélogramme.
2. Étape 2 : a) On calcule d'abord AB avec A(1\,;\,2) et B(5\,;\,4) : ABpmatrix 4 2 pmatrix On cherche D(x\,;\,y) tel que DC = AB, avec C(6\,;\,7) : DCpmatrix 6 - x 7 - y pmatrix = pmatrix 4 2 pmatrix d'où 6 - x = 4 x = 2 et 7 - y = 2 y = 5. [formule]

   D(2\,;\,5)

3. Étape 3 : b) On vérifie par l'autre critère du parallélogramme — celui des diagonales. Milieu de [AC] : (1+6{2} \,;\, 2+7{2}) = (3{,}5 \,;\, 4{,}5) Milieu de [BD] : (5+2{2} \,;\, 4+5{2}) = (3{,}5 \,;\, 4{,}5) Les deux milieux coïncident ✓ : les diagonales se coupent bien en leur milieu. 👉 C'est un vrai contrôle, et pas une redite : les deux critères sont équivalents, donc vérifier le second après avoir utilisé le premier prouve qu'aucune erreur ne s'est glissée dans le calcul de D.

   milieu [AC] = milieu [BD] = (3{,}5\,;\,4{,}5)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire AB = CD au lieu de AB = DC. On trouverait D(10\,;\,9), et le quadrilatère ABCD serait croisé — deux de ses côtés se couperaient. Le contrôle des diagonales le refuserait aussitôt : leurs milieux ne coïncideraient pas. À retenir : [formule] 👉 Deux critères équivalents : employer l'un pour construire, l'autre pour vérifier. Et faire un croquis avant d'écrire les lettres.