Vérifier un alignement

Énoncé

Les points A(1 ; 3), B(3 ; 7) et C(5 ; 11) sont-ils alignés ?

Indice : Calcule les vecteurs AB et AC, puis vérifie s'ils sont colinéaires (déterminant = 0).

Correction

  1. Étape 1 : Trois points sont alignés lorsque les vecteurs qui les relient ont la même direction — c'est-à-dire lorsqu'ils sont colinéaires. Colinéarité par le déterminant : upmatrix x y pmatrix et vpmatrix x' y' pmatrix sont colinéaires xy' - yx' = 0. Ce nombre xy' - yx' s'appelle le déterminant des deux vecteurs. 👉 La méthode : choisir un point de référence — ici A — et calculer deux vecteurs partant de lui, AB et AC. S'ils sont colinéaires, les trois points sont alignés. ⚠️ Les deux vecteurs doivent partir du même point. Comparer AB et BC marche aussi, mais mélanger AB et CB conduit à des erreurs de signe inutiles.
  2. Étape 2 : Les deux vecteurs, tous deux issus de A(1\,;\,3) : ABpmatrix 3-1 7-3 pmatrix = pmatrix 2 4 pmatrix et ACpmatrix 5-1 11-3 pmatrix = pmatrix 4 8 pmatrix

    ABpmatrix 2 4 pmatrix ; ACpmatrix 4 8 pmatrix

  3. Étape 3 : Le déterminant — produit « en croix », première coordonnée de l'un par seconde de l'autre : 2 8 - 4 4 = 16 - 16 = 0 Il est nul, donc les vecteurs sont colinéaires, donc [formule] 👉 On le voit d'ailleurs sans calcul ici : AC = 2\,AB, puisque 4 = 2 2 et 8 = 2 4. Le point C est simplement « deux fois plus loin » que B, dans la même direction.

    2 8 - 4 4 = 0 alignés

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Se tromper dans le produit en croix et calculer xx' - yy' au lieu de xy' - yx'. Ici cela donnerait 2 4 - 4 8 = 8 - 32 = -24 0, donc une conclusion fausse — les points seraient déclarés non alignés alors qu'ils le sont. Le repère : on croise. La première coordonnée du premier vecteur avec la seconde du second, et inversement. À retenir : Deux vecteurs issus du même point, puis déterminant xy' - yx'. Nul colinéaires points alignés. 👉 Et le raccourci qui évite souvent le calcul : chercher si l'un des vecteurs est un multiple de l'autre. pmatrix 4 8 pmatrix = 2pmatrix 2 4 pmatrix se voit à l'œil.