Coordonnées de vecteurs

Énoncé

Soit A(2 ; 5), B(7 ; 3) et C(-1 ; 4). a) Déterminer les coordonnées de AB. b) Déterminer les coordonnées de CA. c) Calculer AB + AC.

Indice : AB a pour coordonnées (x_B - x_A ; y_B - y_A).

Correction

1. Étape 1 : Un vecteur n'est pas un point : c'est un déplacement. Ses coordonnées disent de combien on avance horizontalement et verticalement. Coordonnées d'un vecteur : [formule] « arrivée moins départ », dans cet ordre. 👉 L'ordre compte, ici, contrairement à la distance : BA est l'opposé de AB. Le repère : on part de A et l'on arrive en B, donc on retranche le point de départ. ⚠️ Et l'addition de vecteurs se fait coordonnée par coordonnée : les abscisses ensemble, les ordonnées ensemble.
2. Étape 2 : a) AB avec A(2\,;\,5) et B(7\,;\,3) : [formule] Lecture : pour aller de A à B, on avance de 5 vers la droite et l'on descend de 2 — d'où l'ordonnée négative.

   ABpmatrix 5 -2 pmatrix

3. Étape 3 : b) CA avec C(-1\,;\,4) et A(2\,;\,5). Ici le départ est C : [formule] ⚠️ C'est bien CA et non AC : la lettre de départ est la première. Inverser donnerait pmatrix -3 -1 pmatrix, soit le vecteur opposé.

   CApmatrix 3 1 pmatrix

4. Étape 4 : c) Il faut d'abord AC — l'opposé de celui qu'on vient de calculer : ACpmatrix -1 - 2 4 - 5 pmatrix = pmatrix -3 -1 pmatrix Puis on additionne coordonnée par coordonnée : [formule]

   AB + AC = pmatrix 2 -3 pmatrix

5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer « départ moins arrivée » au lieu de « arrivée moins départ », et obtenir le vecteur opposé. Le contrôle qui l'attrape : regarder le sens. Si B est à droite de A, alors la première coordonnée de AB doit être positive. Ici B(7\,;\,3) est à droite de A(2\,;\,5), donc le 5 est bien positif ✓ À retenir : [formule] BA = -AB : les deux ont la même longueur et le sens opposé. 👉 Et l'addition se fait ligne par ligne, sans jamais mélanger abscisses et ordonnées.