Distance entre deux points

Énoncé

Calculer la distance entre les points : a) A(1 ; 2) et B(4 ; 6) b) C(0 ; 0) et D(3 ; -4) c) E(-2 ; 1) et F(1 ; 5)

Indice : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2

Correction

1. Étape 1 : La distance entre deux points est une application directe du théorème de Pythagore : on construit mentalement le triangle rectangle dont [AB] est l'hypoténuse, avec un côté horizontal et un côté vertical. Distance entre deux points : [formule] 👉 Et une conséquence rassurante : les carrés effacent les signes. Peu importe donc l'ordre dans lequel on soustrait — (x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2. C'est la seule formule du chapitre où l'ordre est indifférent. ⚠️ Mais il ne faut pas confondre avec le milieu, où l'on additionne.
2. Étape 2 : a) A(1\,;\,2) et B(4\,;\,6) : AB = (4-1)^2 + (6-2)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5 👉 On reconnaît le triangle 3-4-5, le plus célèbre des triangles rectangles à côtés entiers. Les trois questions de cet exercice y ramènent — ce n'est pas un hasard.

   AB = 5

3. Étape 3 : b) C(0\,;\,0) et D(3\,;\,-4) : CD = (3-0)^2 + (-4-0)^2 = 9 + 16 = 5 ⚠️ (-4)^2 = +16 : le carré efface le signe. Écrire 9 - 16 conduirait à la racine d'un nombre négatif, ce qui n'existe pas — et c'est un bon signal d'alarme. c) E(-2\,;\,1) et F(1\,;\,5) : EF = (1-(-2))^2 + (5-1)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5 Attention au double signe : 1 - (-2) = 1 + 2 = 3.

   CD = 5 ; EF = 5

4. Étape 4 : 👉 Les trois distances valent 5, et ce n'est pas une coïncidence de l'exercice : les trois couples de points sont tous séparés de 3 horizontalement et 4 verticalement (au signe près). C'est une bonne occasion de retenir que la distance ne dépend que des écarts, pas de la position : deux points séparés de (3\,;\,4) sont à distance 5, où qu'ils se trouvent dans le plan.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le carré sur l'un des deux écarts, ou perdre un signe dans une soustraction de nombres négatifs. En c), 1 - (-2) vaut 3 et non -1. Un écart faux fausse toute la distance, et rien ne le signale — le résultat reste un nombre plausible. À retenir : [formule] L'ordre des soustractions n'a aucune importance, puisque les carrés effacent les signes. 👉 Et un contrôle de plausibilité : une distance est toujours positive, et elle est toujours plus grande que chacun des deux écarts pris séparément. Ici 5 > 4 et 5 > 3 ✓