Deux tirages sans remise

Énoncé

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule, on note sa couleur, on la garde, puis on tire une deuxième boule parmi celles qui restent. On note R₁ l'événement « la première boule est rouge », R₂ « la deuxième boule est rouge », et V₁, V₂ les événements « … est verte ». *Sans calculatrice.* a) Donner P(R₁), puis PR_₁(R₂) et PV_₁(R₂). Construire l'arbre pondéré de l'expérience. b) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges. c) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule verte. d) En numérotant les boules, combien y a-t-il de tirages ordonnés possibles ? Retrouver le résultat de la question b) par un comptage. e) Combien de ces tirages ordonnés donnent une deuxième boule verte ? En déduire P(V₂), puis la probabilité que la première boule ait été rouge sachant que la deuxième est verte.

Indice : Sans remise, la composition de l'urne change après le premier tirage : les probabilités du second niveau sont conditionnelles. Pour la question e), compte les tirages ordonnés de la question d).

Correction

1. Étape 1 : Sans remise, le second tirage dépend du premier : après une rouge, il reste 2 rouges et 2 vertes ; après une verte, 3 rouges et 1 verte. Les probabilités du second niveau de l'arbre sont donc des probabilités conditionnelles. Arbre pondéré : La probabilité d'un chemin est le produit de ses branches : P(R₁ ∩ R₂) = P(R₁) × PR_₁(R₂). Un événement réalisé par plusieurs chemins a pour probabilité la somme de leurs probabilités.
2. Étape 2 : a) Au premier tirage, 3 boules rouges sur 5 : P(R₁) = 3/5 et P(V₁) = 2/5. Si la première est rouge, il reste 2 rouges sur 4 boules : PR_₁(R₂) = 2/4 = 1/2. Si la première est verte, il reste 3 rouges sur 4 : PV_₁(R₂) = 3/4.

   P(R₁) = 3/5 PR_₁(R₂) = 1/2 PV_₁(R₂) = 3/4

3. Étape 3 : b) « Deux boules rouges » est le chemin R₁ → R₂ : P(R₁ ∩ R₂) = 3/5 × 1/2 = 3/10. c) « Exactement une verte » est réalisé par deux chemins, R₁ → V₂ et V₁ → R₂ : 3/5 × 1/2 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5.

   P(R₁ ∩ R₂) = 3/10 P(une verte) = 3/5

4. Étape 4 : d) On numérote les rouges r₁, r₂, r₃ et les vertes v₁, v₂. Un tirage ordonné est un couple de deux boules différentes : 5 choix pour la première, 4 pour la seconde, soit 5 × 4 = 20 tirages, tous équiprobables. Les tirages « deux rouges » sont les couples de deux rouges différentes : 3 × 2 = 6. Donc P(R₁ ∩ R₂) = 6/20 = 3/10 ✓ — le comptage confirme l'arbre.

   (3 × 2)/(5 × 4) = 6/20 = 3/10

5. Étape 5 : e) La deuxième boule est verte pour les tirages (rouge, verte) — 3 × 2 = 6 tirages — et (verte, verte) — 2 × 1 = 2 tirages —, soit 8 tirages sur 20 : P(V₂) = 8/20 = 2/5. Parmi ces 8 tirages, 6 commencent par une boule rouge : PV_₂(R₁) = 6/8 = 3/4. Lecture : si l'on sait que la deuxième boule est verte, il est plus probable que la première ait été rouge (3/4) qu'au départ (3/5).

   P(V₂) = 8/20 = 2/5 PV_₂(R₁) = 6/8 = 3/4

6. Étape 6 : L'erreur classique : Garder les probabilités du premier tirage au second, comme s'il y avait remise : on trouverait 3/5 × 3/5 = 9/25 pour deux rouges, au lieu de 3/10. Sans remise, il ne reste que 4 boules au second tirage, et la composition dépend du premier. À retenir : Sans remise, le second niveau de l'arbre porte des probabilités conditionnelles, qu'on lit sur la composition de l'urne après le premier tirage. Un dénombrement des tirages ordonnés permet de contrôler le résultat.