Choisir un modèle à partir de fréquences observées

Énoncé

Partie A — Un dé de jeu. Un fabricant lance 6 000 fois un dé qu'il vient de produire (données fictives) : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |------|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | Effectif | 1 020 | 980 | 1 010 | 990 | 960 | 1 040 | a) Calculer la fréquence de chaque face, arrondie au millième. b) Le modèle d'équiprobabilité (1/6 pour chaque face) vous paraît-il raisonnable pour ce dé ? Partie B — Le sexe d'un nouveau-né. En France, on observe depuis longtemps environ 105 naissances de garçons pour 100 naissances de filles. c) Proposer une loi de probabilité pour le sexe d'un nouveau-né, arrondie au millième. d) Dans son bilan démographique 2024, l'Insee a estimé à environ 663 000 le nombre de naissances en 2024. Avec ce modèle, combien de ces naissances étaient, selon l'estimation, des garçons ? Arrondir au millier. *Calculatrice autorisée.*

Indice : Une loi de probabilité peut se choisir à partir de fréquences observées sur un très grand nombre de répétitions : c'est la loi des grands nombres qui le justifie.

Correction

1. Étape 1 : Une loi de probabilité est un modèle : on la choisit, on ne la démontre pas. Ici, deux façons de la choisir. Choisir un modèle : Par une hypothèse d'équiprobabilité, justifiée par une symétrie (un dé bien fabriqué) — et qu'on peut confronter aux fréquences observées. À partir de fréquences observées sur un très grand nombre de répétitions, quand aucune symétrie ne donne le modèle (le sexe d'un nouveau-né). Dans les deux cas, c'est la loi des grands nombres qui fait le lien : sur un grand nombre de répétitions, sauf exception, les fréquences sont proches des probabilités.
2. Étape 2 : a) On divise chaque effectif par 6 000 : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Fréquence | 0,170 | 0,163 | 0,168 | 0,165 | 0,160 | 0,173 | b) Toutes les fréquences sont proches de 1/6 ≈ 0,167 (au plus 0,007 d'écart), sur un grand nombre de lancers. Ces observations sont compatibles avec le modèle d'équiprobabilité, qui reste raisonnable — sans être « prouvé » : un modèle ne se démontre pas.

   (1 020)/(6 000) = 0,17 960/(6 000) = 0,16

3. Étape 3 : c) Sur 105 + 100 = 205 naissances, il y a environ 105 garçons. On choisit le modèle P(garçon) = 105/205 ≈ 0,512 et P(fille) = 100/205 ≈ 0,488. La somme vaut bien 1. Ce n'est pas l'équiprobabilité : un « une chance sur deux » ne correspond pas aux observations. d) 663 000 × 105/205 ≈ 339 585, soit environ 340 000 garçons selon le modèle.

   P(garçon) = 105/205 ≈ 0,512 663 000 × 105/205 ≈ 340 000

4. Étape 4 : L'erreur classique : Supposer l'équiprobabilité sans la justifier : « garçon ou fille, donc une chance sur deux ». Deux issues ne sont pas forcément équiprobables, et les observations montrent ici le contraire. Autre piège : croire qu'un dé est truqué parce que ses fréquences ne valent pas exactement 1/6. À retenir : Un modèle se choisit et se dit : équiprobabilité justifiée par une symétrie, ou fréquences observées sur un grand nombre de répétitions. Le modèle n'est pas la réalité.