Ne pas inverser le conditionnement

Énoncé

Dans un lycée, on a interrogé les 200 élèves de Seconde après le premier devoir commun (données fictives). On note F l'événement « l'élève a fait toutes les fiches de révision proposées » et R l'événement « l'élève a obtenu au moins 15 ». Les résultats : | | R | R̅ | Total | |---|:-:|:-:|:-:| | F | 30 | 20 | 50 | | F̅ | 10 | 140 | 150 | | Total | 40 | 160 | 200 | On choisit un élève au hasard. *Sans calculatrice.* a) Calculer PR(F), puis PF(R) et PF̅(R). b) Le professeur affirme : « 75 % des élèves qui ont eu au moins 15 avaient fait toutes les fiches. » Quelle probabilité utilise-t-il ? A-t-il raison ? c) Un élève en déduit : « Si je fais toutes les fiches, j'ai 75 % de chances d'avoir au moins 15. » Que penser de ce raisonnement ?

Indice : Dans « x % des A sont B », A est le groupe de référence : il s'écrit en indice.

Correction

  1. Étape 1 : Les deux phrases b) et c) parlent des mêmes élèves (case F ∩ R, 30 élèves), mais pas du même groupe de référence : c'est toute la différence entre PR(F) et PF(R). Probabilité conditionnelle dans un tableau : PR(F) = (Card(R ∩ F))/(Card(R)) : on se place parmi les élèves de R (colonne). PF(R) = (Card(F ∩ R))/(Card(F)) : on se place parmi les élèves de F (ligne).
  2. Étape 2 : a) Parmi les 40 élèves qui ont eu au moins 15 : PR(F) = 30/40 = 0,75. Parmi les 50 élèves qui ont fait toutes les fiches : PF(R) = 30/50 = 0,6. Parmi les 150 autres : PF̅(R) = 10/150 = 1/15 ≈ 0,07.

    PR(F) = 0,75 PF(R) = 0,6 PF̅(R) = 1/15

  3. Étape 3 : b) « Parmi les élèves qui ont eu au moins 15, 75 % avaient fait les fiches » : le groupe de référence est R, c'est PR(F) = 0,75. Le professeur a raison. c) L'élève parle de ses chances d'avoir au moins 15 sachant qu'il a fait les fiches : c'est PF(R), qui vaut 0,6, pas 0,75. Il a inversé le conditionnement. La comparaison utile est ailleurs : PF(R) = 0,6 contre PF̅(R) ≈ 0,07. Dans ce lycée, les élèves qui ont fait les fiches ont bien plus souvent obtenu au moins 15 — ce qui ne prouve pas, à lui seul, que ce sont les fiches qui en sont la cause.
  4. Étape 4 : L'erreur classique : Lire « 75 % des bons élèves ont fait les fiches » comme « faire les fiches donne 75 % de chances d'être un bon élève ». C'est confondre PR(F) et PF(R) — la même confusion que celle des faux positifs. À retenir : Avant de calculer, demander « parmi qui ? ». La réponse est l'événement en indice, et son effectif est le dénominateur.