Faux positifs : que vaut un test positif ?

Énoncé

Une maladie touche 2 % d'une population. On dispose d'un test de dépistage dont la sensibilité est de 90 % (parmi les malades, 90 % ont un test positif) et la spécificité de 95 % (parmi les non-malades, 95 % ont un test négatif). Les valeurs sont fictives, mais du même ordre que celles de vrais tests. On choisit une personne au hasard. On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « son test est positif ». a) Traduire les données à l'aide de probabilités, puis construire un arbre pondéré. b) Construire le tableau d'effectifs correspondant à une population de 10 000 personnes. c) Combien y a-t-il de faux positifs ? De faux négatifs ? d) La personne choisie a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Arrondir au centième. Commenter.

Indice : Sensibilité = PM(T), spécificité = PM̅(T̅). Pour la question d), on se place parmi toutes les personnes testées positives, malades ou non.

Correction

  1. Étape 1 : Le test est donné par ce qu'il fait sachant l'état de la personne ; la question d) demande l'état de la personne sachant le résultat du test. Il faut donc inverser le conditionnement, et le tableau d'effectifs est le moyen le plus sûr. Le vocabulaire des tests : Sensibilité : PM(T). Spécificité : PM̅(T̅). Un faux positif est une personne non malade testée positive ; un faux négatif, une personne malade testée négative.
  2. Étape 2 : a) P(M) = 0,02, PM(T) = 0,9 et PM̅(T̅) = 0,95. En complétant chaque nœud à 1 : P(M̅) = 0,98, PM(T̅) = 0,1 et PM̅(T) = 0,05.
  3. Étape 3 : b) Sur 10 000 personnes : 0,02 × 10 000 = 200 malades et 9 800 non-malades. Parmi les malades : 0,9 × 200 = 180 positifs, 20 négatifs. Parmi les non-malades : 0,05 × 9 800 = 490 positifs, 9 310 négatifs. | | T | T̅ | Total | |---|:-:|:-:|:-:| | M | 180 | 20 | 200 | | M̅ | 490 | 9 310 | 9 800 | | Total | 670 | 9 330 | 10 000 | c) Les faux positifs sont les 490 personnes non malades testées positives ; les faux négatifs, les 20 personnes malades testées négatives.
  4. Étape 4 : d) On se place parmi les personnes testées positives : la colonne T, d'effectif 670. PT(M) = 180/670 = 18/67 ≈ 0,27. Une personne testée positive n'a qu'environ une chance sur quatre d'être malade, alors que le test détecte 90 % des malades. La raison : les non-malades sont 49 fois plus nombreux que les malades, et même 5 % d'entre eux (490 personnes) dépassent largement les 180 vrais positifs. C'est pourquoi un test positif se confirme par un second examen.

    PT(M) = 180/670 ≈ 0,27

  5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre 0,9 à la question d) : c'est la sensibilité PM(T), la probabilité d'être positif sachant qu'on est malade. Le patient testé positif veut connaître PT(M) ≈ 0,27. Confondre les deux revient à annoncer « malade à 90 % » à quelqu'un qui a trois chances sur quatre d'être en bonne santé. À retenir : PA(B) ≠ PB(A). Quand une maladie est rare, la plupart des tests positifs peuvent être des faux positifs : seul le tableau d'effectifs le fait voir.