De l'arbre au tableau : remonter le conditionnement
Énoncé
Une plateforme de vidéos compte 2 000 abonnés (données fictives). 35 % d'entre eux ont moins de 18 ans. Parmi les abonnés de moins de 18 ans, 80 % regardent surtout les vidéos sur un téléphone ; parmi les autres abonnés, 50 %.
On choisit un abonné au hasard. On note M l'événement « l'abonné a moins de 18 ans » et T l'événement « il regarde surtout sur un téléphone ».
*Calculatrice autorisée pour la question d).*
a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
b) Compléter le tableau d'effectifs suivant.
| | T | T̅ | Total |
|---|:-:|:-:|:-:|
| M | … | … | … |
| M̅ | … | … | … |
| Total | … | … | 2 000 |
c) Calculer P(T).
d) L'abonné choisi regarde surtout sur un téléphone. Quelle est la probabilité qu'il ait moins de 18 ans ? Arrondir au centième.
Indice : Pour remplir le tableau, multiplie les effectifs par les pourcentages de l'arbre. Pour la question d), on se place parmi les abonnés de la colonne T.
Correction
- Étape 1 : L'arbre se lit naturellement dans le sens de l'énoncé : d'abord l'âge, puis l'écran. Mais la question d) demande l'inverse : l'écran est connu, on cherche l'âge. Pour remonter l'arbre, on passe par un tableau d'effectifs.
Probabilité conditionnelle :
PT(M) = (P(T ∩ M))/(P(T)) ; dans un tableau d'effectifs, PT(M) = (Card(T ∩ M))/(Card(T)).
- Étape 2 : a) Premier niveau : P(M) = 0,35 et P(M̅) = 0,65. Second niveau : PM(T) = 0,8, PM(T̅) = 0,2, PM̅(T) = 0,5, PM̅(T̅) = 0,5.
- Étape 3 : b) Sur 2 000 abonnés : 0,35 × 2 000 = 700 ont moins de 18 ans, et 1 300 non.
Parmi les 700 : 0,8 × 700 = 560 regardent sur un téléphone, 140 non. Parmi les 1 300 : 0,5 × 1 300 = 650 et 650.
| | T | T̅ | Total |
|---|:-:|:-:|:-:|
| M | 560 | 140 | 700 |
| M̅ | 650 | 650 | 1 300 |
| Total | 1 210 | 790 | 2 000 |
c) P(T) = (1 210)/(2 000) = 0,605. On retrouve ce nombre en additionnant les deux chemins qui mènent à T : 0,28 + 0,325 = 0,605.
P(T) = (1 210)/(2 000) = 0,605
- Étape 4 : d) On sait que l'abonné regarde sur un téléphone : on se place donc dans la colonne T, d'effectif 1 210.
PT(M) = 560/(1 210) ≈ 0,46.
Parmi les abonnés qui regardent surtout sur un téléphone, environ 46 % ont moins de 18 ans — bien moins que les 80 % de PM(T).
PT(M) = 560/(1 210) ≈ 0,46
- Étape 5 : L'erreur classique :
Répondre 0,8 à la question d), en lisant la branche M → T de l'arbre. Cette branche porte PM(T) : la probabilité de regarder sur un téléphone sachant qu'on a moins de 18 ans. La question demande l'inverse, PT(M).
À retenir :
Un arbre se lit dans un sens. Pour le « remonter », on construit le tableau d'effectifs d'une population imaginaire, puis on lit la probabilité conditionnelle dans la bonne ligne ou la bonne colonne.