Construire un arbre pondéré

Énoncé

Une entreprise fabrique des pièces sur deux machines (données fictives). La machine A produit 60 % des pièces, la machine B le reste. 3 % des pièces fabriquées par la machine A sont défectueuses, contre 1 % de celles fabriquées par la machine B. On prélève une pièce au hasard. On note A l'événement « la pièce vient de la machine A », B l'événement « la pièce vient de la machine B » et D l'événement « la pièce est défectueuse ». *Sans calculatrice.* a) Donner P(A), P(B), PA(D) et PB(D). b) Construire un arbre pondéré représentant la situation. c) Calculer la probabilité que la pièce vienne de la machine A et soit défectueuse. d) Calculer la probabilité que la pièce vienne de la machine B et ne soit pas défectueuse.

Indice : Au premier niveau de l'arbre : la machine. Au second : défectueuse ou non, avec des probabilités CONDITIONNELLES. La probabilité d'un chemin est le produit de ses branches.

Correction

1. Étape 1 : L'énoncé donne d'abord la machine, puis, pour chaque machine, la proportion de pièces défectueuses : c'est exactement la structure d'un arbre pondéré. Arbre pondéré : Au premier niveau, les branches portent P(A) et P(B) ; au second niveau, des probabilités conditionnelles (PA(D), PA(D̅)…). La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1, et la probabilité d'un chemin est le produit de ses branches : P(A ∩ D) = P(A) × PA(D).
2. Étape 2 : a) P(A) = 0,6 et P(B) = 1 - 0,6 = 0,4, puisque toute pièce vient de l'une des deux machines. « 3 % des pièces fabriquées par la machine A » se place parmi les pièces de A : PA(D) = 0,03. De même, PB(D) = 0,01. b) Au second niveau, on complète chaque nœud à 1 : PA(D̅) = 0,97 et PB(D̅) = 0,99.

   P(A) = 0,6 P(B) = 0,4 PA(D) = 0,03 PB(D) = 0,01

3. Étape 3 : c) « Vient de la machine A et est défectueuse » est l'événement A ∩ D, au bout du chemin A → D : P(A ∩ D) = P(A) × PA(D) = 0,6 × 0,03 = 0,018. d) De même, au bout du chemin B → D̅ : P(B ∩ D̅) = 0,4 × 0,99 = 0,396. Contrôle : les quatre chemins ont pour probabilités 0,018 ; 0,582 ; 0,004 ; 0,396, de somme 1 ✓.

   P(A ∩ D) = 0,018 P(B ∩ D̅) = 0,396

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire 0,03 au premier niveau de l'arbre, ou répondre 0,03 à la question c). Les 3 % ne portent que sur les pièces de la machine A : c'est PA(D), pas P(A ∩ D). Pour obtenir l'intersection, il faut encore multiplier par P(A) = 0,6. À retenir : Au second niveau d'un arbre : des probabilités conditionnelles. Au bout d'un chemin : la probabilité d'une intersection, produit des branches.