De la phrase au symbole

Énoncé

Dans une ville, on interroge des habitants tirés au hasard (données fictives). On note J l'événement « la personne a moins de 25 ans » et V l'événement « la personne se déplace à vélo au moins une fois par semaine ». On sait que : ① 30 % des habitants ont moins de 25 ans ; ② parmi les habitants de moins de 25 ans, 60 % se déplacent à vélo au moins une fois par semaine ; ③ 18 % des habitants ont moins de 25 ans et se déplacent à vélo au moins une fois par semaine ; ④ parmi les habitants qui se déplacent à vélo au moins une fois par semaine, 45 % ont moins de 25 ans. *Sans calculatrice.* a) Écrire chacune des quatre informations à l'aide de P(J), P(J ∩ V), PJ(V) ou PV(J). b) Vérifier que les informations ①, ② et ③ sont cohérentes entre elles. c) En déduire la proportion des habitants qui se déplacent à vélo au moins une fois par semaine.

Indice : « Parmi les A » ou « sachant A » : A s'écrit en indice. « A et B » : c'est une intersection, sans indice.

Correction

1. Étape 1 : Il s'agit de traduire : chaque phrase désigne une probabilité précise, et le mot qui décide est « parmi ». Traduire une phrase : « x % des habitants sont A » : P(A). « x % des habitants sont A et B » : P(A ∩ B). « Parmi les A, x % sont B » : PA(B) — le groupe qui suit « parmi » s'écrit en indice.
2. Étape 2 : a) ① porte sur tous les habitants : P(J) = 0,3. ② se place parmi les moins de 25 ans : PJ(V) = 0,6. ③ décrit les habitants qui sont à la fois jeunes et cyclistes : P(J ∩ V) = 0,18. ④ se place parmi les cyclistes : PV(J) = 0,45.

   P(J) = 0,3 PJ(V) = 0,6 P(J ∩ V) = 0,18 PV(J) = 0,45

3. Étape 3 : b) D'après la définition d'une probabilité conditionnelle, P(J ∩ V) = P(J) × PJ(V) — c'est la multiplication le long du chemin J → V d'un arbre. 0,3 × 0,6 = 0,18 : on retrouve bien l'information ③. Les trois informations sont cohérentes. c) Avec ③ et ④ : PV(J) = (P(J ∩ V))/(P(V)), donc 0,45 = (0,18)/(P(V)), et P(V) = (0,18)/(0,45) = 18/45 = 2/5 = 0,4. 40 % des habitants se déplacent à vélo au moins une fois par semaine.

   P(V) = (0,18)/(0,45) = 0,4

4. Étape 4 : L'erreur classique : Lire ② comme « 60 % des habitants se déplacent à vélo » et écrire P(V) = 0,6. La phrase commence par « parmi les habitants de moins de 25 ans » : c'est une probabilité conditionnelle, PJ(V). La réponse c) montre d'ailleurs que P(V) = 0,4. À retenir : « Parmi », « sachant », « si » : probabilité conditionnelle, l'événement de référence en indice. « Et » : intersection. Et P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).