Probabilités conditionnelles dans un tableau croisé

Énoncé

Le tableau ci-dessous donne le nombre de candidats présents au baccalauréat 2024, en milliers, selon la voie et le résultat : | Voie | Admis | Non admis | Total | |---|:---:|:---:|:---:| | Générale | 374 | 16 | 390 | | Technologique | 140 | 15 | 155 | | Professionnelle | 173 | 35 | 208 | | Total | 687 | 66 | 753 | Source : DEPP, Note d'information n° 25.05 (février 2025), résultats définitifs de la session 2024 du baccalauréat. On tire au sort un candidat. On note T l'événement « le candidat vient de la voie technologique » et A l'événement « le candidat est admis ». *Calculatrice autorisée ; arrondir au centième.* a) Calculer P(T) et P(T ∩ A). b) Calculer PT(A). Traduire ce nombre par une phrase. c) Calculer PA(T). Traduire ce nombre par une phrase.

Indice : PT(A) se lit « probabilité de A sachant T » : on se place dans la ligne des candidats de la voie technologique.

Correction

1. Étape 1 : Le tirage au sort est équiprobable : chaque probabilité est une proportion lue dans le tableau. Tout se joue sur le dénominateur. Probabilité conditionnelle dans un tableau d'effectifs : Pour un tirage au sort avec équiprobabilité, P(A) = (Card(A))/(Card(Ω)) et PT(A) = (Card(T ∩ A))/(Card(T)). L'événement écrit en indice (celui qui suit « sachant ») désigne le groupe dans lequel on se place : son effectif va au dénominateur.
2. Étape 2 : a) Sans condition, on se place parmi tous les candidats : on rapporte donc à l'effectif total, 753 milliers : P(T) = 155/753 ≈ 0,21 et P(T ∩ A) = 140/753 ≈ 0,19. T ∩ A est la case « Technologique / Admis » : le candidat est à la fois de la voie technologique et admis.

   P(T) = 155/753 ≈ 0,21 P(T ∩ A) = 140/753 ≈ 0,19

3. Étape 3 : b) Sachant que le candidat vient de la voie technologique, on se place dans la ligne « Technologique », d'effectif 155 : PT(A) = 140/155 ≈ 0,90. Phrase : environ 90 % des candidats de la voie technologique ont été admis. c) Sachant que le candidat est admis, on se place dans la colonne « Admis », d'effectif 687 : PA(T) = 140/687 ≈ 0,20. Phrase : environ 20 % des candidats admis viennent de la voie technologique.

   PT(A) = 140/155 ≈ 0,90 PA(T) = 140/687 ≈ 0,20

4. Étape 4 : Contrôle par la définition : PT(A) = (P(T ∩ A))/(P(T)) = (140/753)/(155/753) = 140/155 ✓. Les 753 se simplifient : c'est pour cela qu'on peut lire directement les effectifs du tableau.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre PT(A) et PA(T) : la même case (140) donne 0,90 ou 0,20 selon le groupe de référence. Écrire « 90 % des admis viennent de la voie technologique » serait très faux. Autre confusion : prendre P(T ∩ A) ≈ 0,19 pour une probabilité conditionnelle. L'intersection se rapporte à tous les candidats. À retenir : PT(A) : ligne (ou colonne) de T au dénominateur. P(T ∩ A) : effectif total au dénominateur.