Fréquences observées sur 60 lancers

Énoncé

On lance 60 fois un dé que l'on suppose équilibré, et on obtient les résultats suivants : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |------|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | Effectif | 8 | 12 | 9 | 11 | 10 | 10 | a) Calculer la fréquence de chaque face. b) Pour un dé équilibré, la probabilité de chaque face est 1/6 ≈ 0,167. Ces résultats permettent-ils de penser que le dé est truqué ? c) Quelle face a la fréquence la plus éloignée de 1/6 ?

Indice : La fréquence d'une face est son effectif divisé par 60. Avec seulement 60 lancers, les fréquences fluctuent nettement autour de la probabilité.

Correction

1. Étape 1 : Une série de lancers ne redonne jamais exactement les probabilités : les fréquences fluctuent autour. Toute la question est de savoir si les écarts observés sont surprenants. Loi des grands nombres (version vulgarisée) : Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. À l'inverse, pour un petit nombre de lancers comme 60, il faut s'attendre à des écarts visibles : obtenir exactement 10 fois chaque face serait même très improbable.
2. Étape 2 : a) Chaque fréquence s'obtient en divisant l'effectif par 60 : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Effectif | 8 | 12 | 9 | 11 | 10 | 10 | | Fréquence | 0,133 | 0,200 | 0,150 | 0,183 | 0,167 | 0,167 | Contrôle : 8 + 12 + 9 + 11 + 10 + 10 = 60 ✓, donc la somme des fréquences vaut 1.

   f₁ ≈ 0,133 ; f₂ = 0,200 ; f₃ = 0,150 ; f₄ ≈ 0,183 ; f₅ = f₆ ≈ 0,167

3. Étape 3 : b) Toutes les fréquences sont comprises entre 0,133 et 0,200, autour de 0,167 : chaque face est sortie entre 8 et 12 fois, pour 10 en moyenne attendues. Avec seulement 60 lancers, des écarts de cet ordre sont ordinaires : en simulant de nombreuses séries de 60 lancers d'un dé équilibré (avec Python, par exemple), on observe très souvent des écarts de 2 ou 3 lancers, et davantage. Ces résultats ne donnent aucune raison de soupçonner le dé. Pour trancher sérieusement, il faudrait beaucoup plus de lancers : c'est pour un grand nombre de lancers que la loi des grands nombres dit que les fréquences sont, sauf exception, proches de 1/6.
4. Étape 4 : c) On compare chaque effectif à l'effectif attendu 60/6 = 10 : | Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | écart à 10 | 2 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | Les faces 1 et 2 sont à égalité : 8 = 10 - 2 et 12 = 10 + 2 s'écartent de 10 de la même quantité, dans deux sens opposés. Leurs fréquences s'écartent donc toutes deux de 2/60 ≈ 0,033 de 1/6.

   faces 1 et 2 : écart 2/60 ≈ 0,033

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure qu'un dé est truqué parce qu'il ne donne pas exactement 10 par face. C'est l'inverse qui devrait surprendre : sur 60 lancers, tomber pile sur 10 partout est bien plus improbable que la répartition observée. Second piège : désigner une seule face comme « la plus éloignée » alors que deux le sont autant. À retenir : La fluctuation est la règle sur un petit échantillon. C'est seulement quand n est grand que, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.