Deux activités : intersection et réunion

Énoncé

Dans une classe de 30 élèves : - 18 pratiquent un sport ; - 12 jouent d'un instrument de musique ; - 6 font les deux. a) Combien d'élèves ne font ni sport ni musique ? b) On choisit un élève au hasard. On note S l'événement « l'élève pratique un sport » et M l'événement « l'élève joue d'un instrument ». Calculer P(S ∪ M), puis P(S ∪ M̅).

Indice : Répartis les 30 élèves en quatre groupes sans doublon : sport seul, musique seule, les deux, aucun des deux.

Correction

  1. Étape 1 : C'est un problème de dénombrement avant d'être un problème de probabilité : on compte les élèves de chaque groupe, puis on divise par 30. Équiprobabilité : L'élève est choisi au hasard : P(A) = (Card(A))/(Card(Ω)) = (Card(A))/30. « Ne faire ni l'un ni l'autre » est le contraire de « faire au moins une des deux activités », c'est-à-dire de S ∪ M. ⚠️ Le piège : additionner 18 et 12 et trouver 30, donc conclure que toute la classe fait quelque chose. Les 6 élèves qui font les deux seraient comptés deux fois.
  2. Étape 2 : a) On répartit les élèves en quatre groupes sans doublon : | | effectif | |:---|:---:| | sport seul | 18 - 6 = 12 | | musique seule | 12 - 6 = 6 | | les deux | 6 | | aucun | 30 - (12 + 6 + 6) = 6 | 6 élèves ne font ni sport ni musique. Contrôle : 12 + 6 + 6 + 6 = 30 ✓.

    Card(S ∪ M) = 12 + 6 + 6 = 24

  3. Étape 3 : b) Les élèves qui font au moins une activité sont 12 + 6 + 6 = 24, donc P(S ∪ M) = 24/30 = 4/5 et P(S ∪ M̅) = 1 - 4/5 = 1/5. Contrôle par le comptage direct : 6 élèves sur 30 ne font rien, et 6/30 = 1/5 ✓.

    P(S ∪ M) = 4/5 ; P(S ∪ M̅) = 1/5

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire Card(S ∪ M) = 18 + 12 = 30 et conclure que tous les élèves pratiquent une activité. Les 6 élèves qui font les deux sont dans les 18 sportifs et dans les 12 musiciens : on les compterait deux fois, et les 6 élèves qui ne font rien disparaîtraient. À retenir : Décomposer en quatre groupes disjoints (l'un seul, l'autre seul, les deux, aucun) : leur somme doit redonner l'effectif total, et chaque probabilité se lit ensuite directement.