Événement contraire et réunion

Énoncé

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Calculer : a) la probabilité de tirer un as ; b) la probabilité de ne pas tirer un as ; c) la probabilité de tirer un cœur ou un as.

Indice : Il y a 4 as et 13 cœurs dans un jeu de 52 cartes. Attention : l'as de cœur est à la fois un as et un cœur.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions, trois outils : le comptage direct, l'événement contraire, et la réunion « cœur ou as », où se cache un piège de comptage. Équiprobabilité et événement contraire : Le tirage se fait au hasard, donc les 52 cartes ont la même probabilité : P(A) = (Card(A))/52. Et pour tout événement, P(A̅) = 1 - P(A). Pour la réunion, on compte les cartes favorables une à une, en veillant à ne compter qu'une fois une carte qui est à la fois un cœur et un as.
2. Étape 2 : a) Un jeu de 52 cartes contient 4 as (un par couleur) : P(as) = 4/52 = 1/13. b) « Ne pas tirer un as » est l'événement contraire de « tirer un as » : P(as̅) = 1 - 1/13 = 12/13. Contrôle par le comptage direct : 52 - 4 = 48 cartes ne sont pas des as, et 48/52 = 12/13 ✓.

   P(as) = 1/13 ; P(as̅) = 12/13

3. Étape 3 : c) Une carte convient si c'est un cœur ou un as. On compte : les 13 cœurs, puis les as qui ne sont pas des cœurs — l'as de pique, l'as de carreau, l'as de trèfle. L'as de cœur est déjà parmi les 13 cœurs. 13 + 3 = 16 cartes favorables, donc P(cœur ou as) = 16/52 = 4/13. Approfondissement (hors des attendus de Seconde) : la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) donne le même résultat, 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 ; le terme retranché est la probabilité de l'as de cœur, compté sinon deux fois.

   P(cœur ou as) = 16/52 = 4/13

4. Étape 4 : L'erreur classique : Additionner 13 cœurs et 4 as, et trouver 17/52 : l'as de cœur est compté deux fois, une fois comme cœur et une fois comme as. Compter les cartes une à une donne 16, et non 17. À retenir : Pour un événement « A ou B », on compte les issues sans doublon. Et l'événement contraire est souvent un raccourci : P(A̅) = 1 - P(A).