Extrapoler, jusqu'où ? Le CO₂ sur cinquante ans
Énoncé
Le tableau donne la concentration moyenne annuelle de CO₂ à Mauna Loa, en ppm, arrondie à l'unité, tous les dix ans de 1961 à 2011 ; x est le nombre d'années écoulées depuis 1961.
| Année | 1961 | 1971 | 1981 | 1991 | 2001 | 2011 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| xᵢ | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| yᵢ (ppm) | 318 | 326 | 340 | 356 | 371 | 392 |
Source : NOAA, Global Monitoring Laboratory, relevés de Mauna Loa, consultés en octobre 2026.
*Sans calculatrice.*
a) Déterminer la droite de Mayer de ce nuage (groupes : les trois premiers points, les trois derniers).
b) Calculer, pour chaque point, l'écart entre la valeur observée et la valeur de la droite. Que suggère la suite des signes ?
c) Estimer avec cette droite la concentration en 2021 et en 2025. Les valeurs mesurées sont 416 et 427 ppm : commenter.
d) Sur les relevés de 2015 à 2023 (exercice « Nuage de points et point moyen »), la droite des moindres carrés a pour coefficient directeur 2,45. Comparer avec la droite de Mayer de 1961-2011. Quelle conclusion en tirer ?
Indice : Pour b), écris les six écarts dans l'ordre des années : un nuage bien résumé par une droite a des écarts de signes mélangés.
Correction
- Étape 1 : On construit d'abord une droite, puis on juge si elle convient, en regardant comment les points se placent autour d'elle. Le signe des écarts, dans l'ordre des années, dit beaucoup plus que leur taille.
Droite de Mayer :
G₁ et G₂ sont les points moyens des deux moitiés du nuage ; la droite de Mayer est (G₁G₂), et elle passe par le point moyen G.
- Étape 2 : a) G₁((0 + 10 + 20)/3 ; (318 + 326 + 340)/3) = G₁(10 ; 328) et G₂((30 + 40 + 50)/3 ; (356 + 371 + 392)/3) = G₂(40 ; 373).
a = (373 - 328)/(40 - 10) = 45/30 = 1,5 et, comme G₁ est sur la droite, 328 = 1,5 × 10 + b, donc b = 313.
Contrôle : G(25 ; 350,5) et 1,5 × 25 + 313 = 350,5.
y = 1,5x + 313
- Étape 3 : b) La droite donne 313 ; 328 ; 343 ; 358 ; 373 ; 388. Les écarts valent donc :
| xᵢ | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| écart | +5 | -2 | -3 | -2 | -2 | +4 |
Les points des deux bouts sont au-dessus de la droite, ceux du milieu au-dessous : le nuage n'est pas allongé le long d'une droite, il est courbé vers le haut. La concentration n'augmente pas au même rythme : elle accélère.
- Étape 4 : c) 2021 correspond à x = 60 et 2025 à x = 64, en dehors de la plage des données : ce sont des extrapolations.
La droite donne 403 ppm en 2021 et 409 ppm en 2025, contre 416 et 427 mesurés : elle sous-estime de 13, puis de 18 ppm, et l'écart grandit.
1,5 × 60 + 313 = 403 1,5 × 64 + 313 = 409
- Étape 5 : d) De 1961 à 2011, la droite de Mayer indique une hausse moyenne de 1,5 ppm par an ; de 2015 à 2023, la hausse est de 2,45 ppm par an. Le rythme d'augmentation a progressé de plus de 60 % : c'est la confirmation de la courbure vue en b). Un ajustement affine décrit bien une période courte, mais il ne peut pas suivre une croissance qui s'accélère.
- Étape 6 : Un ajustement affine sur un nuage courbé :
On peut toujours calculer une droite, même quand le nuage ne s'y prête pas. Prolonger ici la droite de Mayer, c'est annoncer 409 ppm en 2025 au lieu de 427 : l'erreur de l'extrapolation vient du modèle, pas du calcul.
Lire les signes des écarts :
Des écarts de signes mélangés, sans ordre, signalent un nuage bien résumé par une droite. Des écarts « +, puis -, puis + » le long des x signalent une courbure : un autre modèle que la droite conviendrait mieux.