Deux ajustements, un critère : la somme des carrés

Énoncé

On reprend les relevés de CO₂ de Mauna Loa, en ppm (x : rang de l'année, 0 pour 2015) : | Année | 2015 | 2017 | 2019 | 2021 | 2023 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | xᵢ | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | | yᵢ (ppm) | 401 | 407 | 412 | 416 | 421 | Source : NOAA, Global Monitoring Laboratory, relevés de Mauna Loa, consultés en octobre 2026. Trois ajustements sont proposés : - Léa trace la droite qui passe par le premier et le dernier point : y = 2,5x + 401 ; - Hugo trace au jugé la droite y = 3x + 400 ; - le tableur donne la droite des moindres carrés y = 2,45x + 401,6. Pour une droite y = ax + b, l'écart du point (xᵢ ; yᵢ) est eᵢ = yᵢ - (a xᵢ + b). *Sans calculatrice.* a) Calculer les cinq écarts pour chacune des trois droites. b) Calculer, pour chaque droite, la somme des carrés des écarts S = e₁² + e₂² + ⋯ + e₅². Quelle droite rend S la plus petite ? c) La droite horizontale y = 411,4 passe par le point moyen G(4 ; 411,4). Calculer la somme de ses écarts, sans les élever au carré. Pourquoi ne peut-on pas comparer des droites par la somme des écarts ?

Indice : Commence par calculer, pour chaque droite, les cinq valeurs a xᵢ + b ; les écarts sont les différences avec les yᵢ.

Correction

1. Étape 1 : Pour départager des droites, il faut un critère chiffré. Celui des moindres carrés mesure, pour chaque droite, la distance verticale de chaque point à la droite, l'élève au carré et additionne. Moindres carrés : Parmi toutes les droites, celle des moindres carrés est celle qui rend la somme des carrés des écarts la plus petite possible.
2. Étape 2 : a) Léa, y = 2,5x + 401 : les valeurs de la droite sont 401 ; 406 ; 411 ; 416 ; 421. Les écarts valent donc 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0. Hugo, y = 3x + 400 : valeurs 400 ; 406 ; 412 ; 418 ; 424, écarts 1 ; 1 ; 0 ; -2 ; -3. Tableur, y = 2,45x + 401,6 : valeurs 401,6 ; 406,5 ; 411,4 ; 416,3 ; 421,2, écarts -0,6 ; 0,5 ; 0,6 ; -0,3 ; -0,2.
3. Étape 3 : b) On élève chaque écart au carré, puis on additionne : Léa : S = 0 + 1 + 1 + 0 + 0 = 2. Hugo : S = 1 + 1 + 0 + 4 + 9 = 15. Tableur : S = 0,36 + 0,25 + 0,36 + 0,09 + 0,04 = 1,1. La droite du tableur a la plus petite somme, comme il se doit puisque c'est la droite des moindres carrés. Celle de Léa est proche ; celle d'Hugo, qui monte trop vite, s'écarte nettement des deux derniers points.

   Sₜₐbₗₑᵤᵣ = 1,1 < SLéₐ = 2 < SHᵤgₒ = 15

4. Étape 4 : c) Pour y = 411,4, les écarts valent 401 - 411,4 = -10,4 ; -4,4 ; 0,6 ; 4,6 ; 9,6, de somme :

   -10,4 - 4,4 + 0,6 + 4,6 + 9,6 = 0

5. Étape 5 : La somme des écarts est nulle, alors que cette droite horizontale ne suit pas du tout le nuage, qui monte. C'est général : pour toute droite passant par G, les écarts positifs compensent exactement les écarts négatifs, et leur somme vaut 0. La droite du tableur est dans ce cas aussi : -0,6 + 0,5 + 0,6 - 0,3 - 0,2 = 0. La somme des écarts ne peut donc pas départager ces droites. En élevant les écarts au carré, on les rend tous positifs, et les gros écarts pèsent davantage : la droite horizontale a une somme des carrés de 241,2, plus de deux cents fois celle du tableur.
6. Étape 6 : Additionner les écarts sans les élever au carré : Avec la somme des écarts, la droite horizontale (0) semblerait aussi bonne que celle du tableur (0), et meilleure que celle de Léa (2). Les compensations entre écarts positifs et négatifs rendent ce critère aveugle. Ce qu'il faut retenir des moindres carrés : Aucune formule n'est à connaître : le tableur fournit la droite. Ce qu'il faut savoir, c'est ce qu'elle minimise (la somme des carrés des écarts verticaux) et qu'elle passe par G.