Moindres carrés : ce que calcule le tableur

Énoncé

Le tableau donne le nombre de naissances vivantes en France, en milliers (arrondi au millier), chaque année de 2014 à 2022 ; x est le rang de l'année (0 pour 2014). | Année | xᵢ | Naissances yᵢ | |:---:|:---:|:---:| | 2014 | 0 | 819 | | 2015 | 1 | 799 | | 2016 | 2 | 784 | | 2017 | 3 | 770 | | 2018 | 4 | 759 | | 2019 | 5 | 753 | | 2020 | 6 | 735 | | 2021 | 7 | 742 | | 2022 | 8 | 726 | Source : Insee, statistiques de l'état civil, naissances vivantes, France, consultées en octobre 2026. Les rangs sont saisis en A2:A10 et les naissances en B2:B10. Le tableur affiche : « =PENTE(B2:B10;A2:A10) » → -10,97 et « =ORDONNEE.ORIGINE(B2:B10;A2:A10) » → 809,09 (valeurs arrondies au centième). *Calculatrice autorisée.* a) Donner l'équation de la droite des moindres carrés. Calculer les coordonnées du point moyen G et vérifier que la droite passe par G, aux arrondis près. b) Interpréter le coefficient directeur. c) Calculer l'écart (le résidu) de l'année 2021, entre la valeur observée et celle de la droite. Que remarque-t-on ? d) Estimer, avec cette droite, les naissances de 2023, 2024 et 2025. L'Insee a compté 677 803 naissances en 2023, 660 787 en 2024 et environ 645 000 en 2025 (valeurs provisoires). Commenter. e) Un élève a inversé les plages et écrit « =PENTE(A2:A10;B2:B10) ». Sans faire le calcul, comment pouvait-il voir que son résultat était faux ?

Indice : La droite des moindres carrés passe par le point moyen. Pour d), calcule les écarts entre l'estimation et la valeur réelle, année par année.

Correction

  1. Étape 1 : Le tableur a fait le calcul ; le travail est de contrôler et d'interpréter son résultat, puis de dire jusqu'où on peut s'en servir. Droite des moindres carrés : C'est la droite qui rend la somme des carrés des écarts verticaux la plus petite possible. On admet qu'elle passe par le point moyen G du nuage.
  2. Étape 2 : a) La droite des moindres carrés a pour équation y = -10,97x + 809,09. x̄ = (0 + 1 + ⋯ + 8)/9 = 36/9 = 4 et ȳ = 6887/9 ≈ 765,22, d'où G(4 ; 765,22). Pour x = 4, la droite donne 765,21 : à un centième près, c'est l'ordonnée de G, donc la droite passe bien par G. L'écart d'un centième vient de l'arrondi des coefficients affichés.

    -10,97 × 4 + 809,09 = 765,21

  3. Étape 3 : b) Selon cet ajustement, les naissances ont diminué en moyenne de 10,97 milliers par an, soit environ 11 000 naissances de moins chaque année entre 2014 et 2022.
  4. Étape 4 : c) Pour 2021 (x = 7), la droite donne environ 732,3 milliers, et l'on a observé 742. Le résidu vaut 742 - 732,3 = +9,7 milliers : 2021 est au-dessus de la tendance, alors que 2020 était au-dessous (735 observés contre 743,3 estimés). Le nuage montre un creux en 2020 suivi d'un rebond en 2021, que la droite lisse.

    -10,97 × 7 + 809,09 = 732,30

  5. Étape 5 : d) La droite donne 710,36 milliers pour 2023 (x = 9), 699,39 pour 2024 (x = 10) et 688,42 pour 2025 (x = 11). Les valeurs réelles sont plus basses de 32,6, 38,6 puis 43,4 milliers : l'écart grandit chaque année. La baisse des naissances s'est accélérée après 2022, et la droite ne pouvait pas le prévoir, puisqu'elle prolonge la tendance de 2014-2022.

    710,36 - 677,80 ≈ 32,6 699,39 - 660,79 ≈ 38,6 688,42 - 645 ≈ 43,4

  6. Étape 6 : e) Avec les plages inversées, le tableur calcule une autre droite, celle qui exprime le rang en fonction des naissances. Son « coefficient directeur » vaut environ -0,09 : il dirait que les naissances baissent de 0,09 millier, soit 90 naissances par an, alors que le tableau montre une baisse d'environ 93 000 naissances en huit ans. Un simple ordre de grandeur suffit à repérer l'erreur.
  7. Étape 7 : Une droite d'ajustement n'est pas une prévision : En 2025, la droite annonce 688 000 naissances, pour 645 000 réelles : 43 000 de trop, soit une erreur de près de 7 %. Plus on s'éloigne des années qui ont servi à la construire, plus l'erreur risque de grandir. Toujours contrôler le tableur : Deux contrôles rapides : la droite doit passer par G, et son coefficient directeur doit avoir l'ordre de grandeur de la pente visible sur le nuage (ici, environ -93 milliers en 8 ans, soit -11,6 par an).