La droite de Mayer : le réchauffement du globe
Énoncé
Le tableau donne l'écart entre la température moyenne à la surface du globe et la moyenne de la période 1951-1980, en centièmes de degré Celsius, tous les cinq ans ; x est le nombre d'années écoulées depuis 1992.
| Année | 1992 | 1997 | 2002 | 2007 | 2012 | 2017 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| xᵢ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| Écart yᵢ | 22 | 47 | 63 | 66 | 65 | 91 |
Source : NASA GISS, série GISTEMP v4 (l'une des séries de températures qu'utilise le Giec), consultée en octobre 2026.
*Sans calculatrice.*
a) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.
b) *Méthode de Mayer.* On partage le nuage en deux groupes : les trois premiers points et les trois derniers. Calculer les coordonnées des points moyens G₁ et G₂ de ces deux groupes.
c) Déterminer l'équation réduite de la droite (G₁G₂), puis vérifier que G lui appartient.
d) Interpréter le coefficient directeur, en degrés Celsius par décennie.
e) *Interpolation.* Estimer l'écart de température en 2010. La valeur mesurée est 72 : commenter.
f) *Extrapolation.* Estimer l'écart en 2024. La valeur mesurée est 128 : commenter.
Indice : Un écart de 22 centièmes de degré, c'est 0,22 °C. Travailler en centièmes évite les virgules.
Correction
- Étape 1 : La méthode de Mayer remplace le nuage par deux points moyens, un par moitié du nuage, et trace la droite qui les joint. Tout se ramène à des moyennes, puis à l'équation d'une droite passant par deux points.
Droite de Mayer :
On partage le nuage, rangé par abscisses croissantes, en deux groupes de même effectif ; G₁ et G₂ sont leurs points moyens. La droite (G₁G₂) passe par le point moyen G du nuage, qui est le milieu de [G₁G₂].
- Étape 2 : a) x̄ = (0 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25)/6 = 75/6 = 12,5 et ȳ = (22 + 47 + 63 + 66 + 65 + 91)/6 = 354/6 = 59.
G(12,5 ; 59)
- Étape 3 : b) Premier groupe (1992, 1997, 2002) : x = (0 + 5 + 10)/3 = 5 et y = (22 + 47 + 63)/3 = 132/3 = 44.
Second groupe (2007, 2012, 2017) : x = (15 + 20 + 25)/3 = 20 et y = (66 + 65 + 91)/3 = 222/3 = 74.
G₁(5 ; 44) G₂(20 ; 74)
- Étape 4 : c) G₁ et G₂ n'ont pas la même abscisse, donc la droite a une équation de la forme y = ax + b, avec a = (74 - 44)/(20 - 5) = 30/15 = 2.
Comme G₁ est sur la droite, 44 = 2 × 5 + b, d'où b = 34 : la droite de Mayer a pour équation y = 2x + 34.
Pour x = 12,5 : 2 × 12,5 + 34 = 59, l'ordonnée de G. Donc G appartient à la droite, ce qui contrôle tout le calcul.
y = 2x + 34
- Étape 5 : d) Selon cet ajustement, l'écart augmente de 2 centièmes de degré par an, soit 0,02 °C par an, ou encore 0,2 °C par décennie.
- Étape 6 : e) 2010 correspond à x = 18, à l'intérieur de la plage des données (interpolation) : 2 × 18 + 34 = 70 centièmes, soit 0,70 °C. La valeur mesurée, 0,72 °C, est à 2 centièmes près : l'estimation est très bonne.
2 × 18 + 34 = 70
- Étape 7 : f) 2024 correspond à x = 32, en dehors de la plage (extrapolation) : 2 × 32 + 34 = 98 centièmes, soit 0,98 °C. La valeur mesurée, 1,28 °C, est supérieure de 0,3 °C : l'année 2024 a été la plus chaude jamais mesurée, et le réchauffement des dernières années a été plus rapide que la tendance de 1992-2017. L'extrapolation sous-estime.
2 × 32 + 34 = 98
- Étape 8 : Un point atypique pèse dans un groupe de trois :
L'année 1992 est anormalement fraîche : l'éruption du volcan Pinatubo (1991) a refroidi le globe pendant deux ans. Comme chaque point compte pour un tiers de G₁, ce seul relevé abaisse G₁ et redresse la droite. Avec seulement trois points par groupe, la droite de Mayer est sensible aux années exceptionnelles.
Le contrôle par G :
Avec deux groupes de même effectif, G est le milieu de [G₁G₂] : vérifier que G est sur la droite trouvée contrôle à la fois les moyennes et l'équation.